Trigonometriskt problem

2arcsinx-arccos2x=0

Kommit fram så långt att med hjälp av cos2v=1-2sin²v

⇔1-2sin²(arcsinx)=2x
och till slut

-2sin²(arcsinx)=2x-1

Men här tar det stopp.
Vet att uttrycken enbart är definierade för -1/2≤ x ≤1/2 så det är enbart en lösning som är rätt.

Men hur fortsätter man?

Svaret ska tydligen bli x=(sqrt(3)-1)/2

2arcsinx - arccos2x = 0

Om vi har arcsinx så vet vi att x² + b² = 1² där b är lika med närliggande katet. Då får vi ut att b = ±√(1 - x²)

2arccos(±√(1 - x²)) = arccos(2x)

Vi använder funktionen cos() på båda sidorna.

cos(2√(1 - x²)) = 2x

Identitet: cos2φ = 2cos²φ - 1

⇒ 2*(±√(1 - x²))² - 1 = 2x
⇔ 2(1 - x²) - 1 = 2x
⇔ 2 - 2x² - 1 = 2x ⇔ 2x² + 2x - 1 = 0

Denna ekvation har lösningen

Denna ekvation har x= ½*(√(3)-1) och -½(√(3)-1). Vi vet att den första är den rätta eftersom vi rör oss i första kvadraten (enda ställena där både arcsinx och arccosx är båda definierade samtidigt!)