Citat:
Ursprungligen postat av Unbildoed
Polynomet p(x) ger resten 1 vid division med (x-1) och resten 5 vid division med (x-6). Vilken blir resten r(x) vid division med (x-1)(x-5)?
Skall det verkligen vara "vid division med (x-6)"? Skall det inte vara "vid division med (x-5)"? Jag antar nedan att det skall vara det senare.
Citat:
Ursprungligen postat av Unbildoed
Jag fattar inte hur jag ska ta mig an den här typen av uppgiften. Skulle uppskatta hjälp
Ansätt p(x) = (x-1)(x-5) q(x) + r(x).
Resten r(x) skall ha lägre grad än (x-1)(x-5), så grad r är högst 1. Vi kan därför skriva r(x) = a x + b.
Alltså, p(x) = (x-1)(x-5) q(x) + a x + b.
Nu sätter vi in x = 1 samt x = 5 i denna ekvation:
p(1) = (1-1)(1-5) q(1) + a 1 + b = a + b
p(5) = (5-1)(5-5) q(5) + a 5 + b = 5a + b
Ur detta får vi fram
a = (p(5) - p(1))/4
b = (5 p(1) - p(5))/4
Alltså, p(x) = (x-1)(x-5) q(x) + (p(5) - p(1)) x/4 + (5 p(1) - p(5))/4
= (x-1)(x-5) q(x) + p(5) (x-1)/4 - p(1) (x-5)/4.
Nu ser vi att p(x) ger samma rest som - p(1) (x-5)/4 = - p(1) ((x-1)-4)/4 vid division med x-1, dvs - p(1) (-4)/4 = p(1).
På samma sätt, vid division med x-5, ger p(x) samma rest som p(5) (x-1)/4 = p(5) ((x-5)+4)/4, dvs p(5) 4/4 = p(5).
Enligt förutsättningarna skall den första resten vara 1, så p(1) = 1, medan den andra resten skall vara 5, så p(5) = 5.
Alltså blir a = (5 - 1)/4 = 1 och b = (5 * 1 - 5)/4 = 1, dvs r(x) = x + 1.
Svar: x + 1.