Trigonometri uppgifter

1. Förenkla ((2tan(x))/(1+tan^2(x)))^2 + ((1-tan^2(x))/(1+tan^2(x)))^2 så långt som möjligt.

2. Bestäm alla lösningar till den trigonometriska ekvationen 5sin(x) + 2cos^2(x) = 4 i intervallet [-2pi, 2pi]. Placera svaren i växande ordning.

I ettan: du kan skilja på kvadreringen i nämnarna och täljarna. Sedan kan du stoppa alltihop under gemensam nämnare. Förenkla sedan.

I tvåan: omvandla cos²x till 1-sin²x och sätt t=sin x så får du en andragradare. Var varsam med periodiciteten hos sin.

Det jag har problem med i tvåan är just det att jag inte vet vad jag ska göra med roten jag får fram ur andragradaren.

5sin(x)+2cos²(x) = 4 ⇔
5sin(x)+2cos²(x) = 2+2sin²(x)+2cos²(x) ⇔
5sin(x) = 2+2sin²(x)
t = sin(x)
5t = 2+2t² ⇔
t₁ = 1/2
t₂ = 2
⇒
sin(x) = 1/2
x = π/6+2πn
eller
sin(π-x) = 1/2
π-x = π/6+2πn
x = π-π/6+2πn
x = 5π/6+2πn

Svar:

x₁ = π/6+2πn
x₂ = 5π/6+2πn
Där n∈ℤ