Skillnaden mellan division och bråk

Satt och räknade division och kom på mig själv med att förenkla, det vill säga förlänga och förkorta täljare och nämnare. Svaren blir rätt, men vad är egentligen skillnaden mellan division och bråk?

Med bråk har man liggande stolen, division är att nämnaren delar in täljaren i lika stora divisioner

Liggande stolen är ett sätt att utföra division

Mitt svar är att bråk lite slarvigt används som ett paraplybegrepp för både rationella tal och division.

Ett rationellt tal är ett par av två heltal och brukar skrivas som ett "bråktal". Men det är bara en representation av talet. En division är en operation som genererar ett tal. Om du dividerar ett heltal med ett annat får du ett rationellt tal. Samma sak med om du dividerar ett rationellt tal med ett rationell, då får du också ett rationellt tal. Men om du dividerar irrationella tal blir det inte nödvändigtvis så. Ta divisionen pi/2 exempelvis.

Tänk dig att du vill räkna ut: 100 / 300

Antingen genomför du divisionen och får talet i decimalform:
0,333333...

Eller så genomför du inte divisionen, utan uttrycker talet i bråkform:
1/3 ("en tredjedel")

Prova sedan att t.ex. multiplicera med 24, så märker du att det är mycket enklare i ena fallet än det andra:

24 * 0,3333....
....jämfört med.....
24 / 3 ("tjugofyra tredjedelar")

Båda slutresultat är identiska: 8.

Men genom att inte utföra divisionen, utan behålla talet i bråkform, har du gjort beräkningen enklare och mer exakt.

Som jag beskrev tidigare så är division en operation. Om du genomför divisionen 100/300 så är både 0.333... och 1/3 korrekta eftersom de bara är två representationer av samma tal.

1/3 kan både betyda "ett dividerat med tre" och "en tredjedel". Utför du divisionen får du talet en tredjedel.

Men om jag ska räkna ut en division så kan jag först förlänga för att få bort decimaler, sedan förkorta tills det blir begripligt och i ett sista steg kan jag skriva om till blandad form för att enklare se vad svaret blir. Det vill säga, har jag svaret i blandad form så kan jag utifrån det räkna ut det hela i decimaler. Är det fel att räkna så? svaren blir ju rätt.

Vid Bråktal så kan du ju även exvis räkna upp och om flera mindre bråktal till helor och mindre bråktal !

Ex 23/ 5 delar, är lika mycket som 4 hela och 3/5 delar.

Kan ju vara bra om man delar 23 st godisbitar på 5 st,...alla får 4 bitar var , de 3 sista blir det "bråk" om 😎

Division är namnet på den operation som normalt betecknas med bråkstreck eller "/". Bråk är ett uttryck som (primärt) innehåller denna operator, exempelvis (x+y)/xy.

Bråkstrecket står för helt vanlig division, så om du lärt dig vissa regler för vad man får göra med bråk kan du använda dessa överallt där division förekommer. Det är inget fel att göra så bara för att det inte är något som efterfrågas i uppgiften – tvärtom visar det att du förstått vad du lärt dig tidigare och kan tillämpa det (om än med viss osäkerhet eftersom du behövde fråga på Flashback).

Här är ett typiskt exempel på bråkräkning:

1/2 + 1/7 + 5/14 = 7/14 + 2/14 + 5/14 = 14/14 = 1

Bråkstrecken symboliserar här division, men någon egentlig division utförs inte förutom i slutet, då den trivialt resulterar i ett heltal (man kan se det som ett specialfall av omvandling till blandat bråk, där bråkdelen råkar falla bort).

Om man istället utför divisionen så snabbt som möjligt (med sex decimaler där divisionen inte går jämnt ut):

1/2 + 1/7 + 5/14 = 0.5 + 0.142857... + 0.357142... = 0.999999... ≈ 1.00000

Där har vi bråk i första ledet (innan första likhetstecknet) men utför ingen egentlig bråkräkning eftersom vi utför divisionen numeriskt istället för att behålla den så länge som möjligt. Eftersom 1/7 och 5/14 inte gick jämnt ut behövde vi bestämma oss för hur många siffror som skulle tas med i mellanresultaten, vilket påverkar slutresultatets noggrannhet. I den här uträkningen kan vi säkert också misstänka att resultatet är exakt 1, men vad vi verkligen räknat fram duger bara för att presenteras med fem decimaler (då den sjätte decimalen behövs för att vara säker på att den femte avrundas korrekt.)

Bråkräkning har alltså sina fördelar genom att slippa onödiga avrundningar och förlust av precision i samband med dessa. Samma slags tänk återkommer sedan då man lär sig algebra, där man ofta inte kan utföra divisioner (och andra beräkningar) numeriskt eftersom man inte vet vad de ingående variablerna har för värde.