Är oändligheten större än oändligheten?

Förvisso står det "Any countable sequence" men skulle det ställa till några problem om man tillät även "större" oändligheter i axiomet?

Det enda jag vet är att så fort man blandar in oändligheten så kan matematiker bevisa det mest absurda:
https://sv.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarskis_paradox

Ingen sådan procedur terminerar vad jag vet men mig veterligen är det bara du som pratar om sådana procedurer.

Man har inget behov av en sådan procedur för att visa att mängden av hela tal är lika stor som mängden av udda tal. Det där har du fått helt om bakfoten. Allt man gör är att bevisa att funktionen y=2x+1 definierar en bijektion från de hela talen till de udda. Ett helt "statiskt" bevis, utan någon process.

Hilberts hotell är konstigt eftersom man antar existensen av ett oändligt hotell med oändligt många rum. Och som du säger, det blir konstigt om du tänker dig det som en procedur. Så nyckeln är att inte tänka på det som en procedur. I vilket fall är det ju bara en illustration av mängdläran för den som inget vet, inte mängdlära på riktigt.

Om man tillät större oändligheter skulle alla sannolikheter på kontinuerliga utfallsrum bli 0, eller ja, det skulle uppstå en motsägelse.

Ta en likformigt fördelad variabel X, säg på [0,1]. Vad är sannolikheten att X är exakt a, dvs P(X=a)? Sannolikheten P(X=b)? Antar vi att dessa sannolikheter är större än 0 så kommer P(X=a eller X=b eller X=c .....) för tillräckligt många punkter a,b,c ( ej oändligt många) bli större än 1.

Så vi måste anta P(X=a)=0.

Antag nu att vi kan summera sannolikheter över överuppräkneliga mängder, då följer att alla sannolikheter av typen P(X i [u,v])=0 eftersom vi kan addera sannolikheterna punkt för punkt, 0+0+0+0+...=0.

Så vi måste särskilja uppräkneliga mängder från ouppräkneliga och tillåta addivitet av sannolikhet över uppräkneligt många mängder men inte över ouppräkneligt många.

Finns liknande inom måtteori generellt, varje uppräknelig punktmängd har längd 0, men likväl har intervall (ouppräkneliga mängder) positiv längd.

När man Gugglar på detta så säger de som kan det att man varken kunde bevisa eller motbevisa det där, fram tills för några år sedan då det bevisades vara fel då man lyckades motbevisa det då oändligheterna var lika stora.
En funktion som definierar bijektionen är ju lika mycket en process som processen som räknar "storleken" mot oändligheten. Det är samma process dessutom, eller "statiska" förhållande, om så vill. Så det var konstigt för att det var konstigt. Det verkar finnas flera motbevis, men jag kan inte avgöra det då detta är bortom mig.

Du får nog ge källor.

Om du säger att sannolikheten blir större än 1 redan för ej oändligt många punkter kan du inte ha en uppräknelig oändlighet heller.

Även om jag ändrar till en uppräkningsbart oändlig mängd punkter tror jag du får problem med ditt argument. Varför skall man inte kunna använda samma resonemang som när man övergår från en summa till en integral? Då är inget tal om att man bara kan summera över ett uppräkneligt antal punkter utan man övergår glatt till en "summa" över R antal punkter även om varje litet bidrag till arean med ditt sätt att tänka är noll.

Här va?
http://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00830-X/home.html
Och här kanske det fanns något?
https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/

Ingen aning.

Byter vi mot en källa med de där bevisen du pratade om?

jag är ledsen jag förstår inte. Om vi tänker oss P(X=a)=1/3 för alla punkter så är P(X=a eller X=b eller X=c eller X=d) =4/3 alldeles oavsett storleken på mängden.

När du övergår från en summa till en integral, så antar jag att du menar Riemann integralen. Riemann-integralen definieras dock på intervall och sammansättningar av intervall, med som mest uppräkneligt, hoppsan!, många diskontinuitetspunkter. Det finns många mängder vars sannolikhet vi kan efterfråga i ett visst sannolikhetsmått som inte är Riemann-integrerbara. Dirichlets funktion är inte Riemann-integrerbar men en slumpvariabel som antar värden enligt Dirichlets funktion har ett väntevärde. Så Riemann-integrering räcker inte till, Riemann-integrering är möjlig på en så begränsad mängd av mängder.

Om du menar Lebesgue integralen så har du i själva verket samma sak där, i definitionen av Lebesgue-måttet ingår uppräkneliga unioner men inte ouppräkneliga.

Programmet är lika statiskt som funktionen. Genom sin formulering definierar programmet hur mappningen skulle se ut om programmet fick exekvera oändligt länge och genom sin formulering definierar funktionen hur motsvarande mappning skulle se ut om funktionen kunde appliceras oändligt många gånger. Båda formuleringarna definierar mappningar vi kan resonera om, men ingen av dem är realiserbar.

Frågan om mängden Q eller mängden R är störst kan omformuleras till frågan om det tar längst tid att iterera över alla element i Q eller om det tar längst tid att iterera över alla element i R. Det blir då uppenbart att frågan saknar svar eftersom ingen av mängderna går att iterera. Låtsas vi som att det gick ändå så beger vi oss ut på odefinierat område där ditt svar är lika gott som mitt.

Att inte betrakta det som en procedur är möjligtvis ett självbedrägeri som hjälper oss att blunda för våra egna tankefel. Det går inte att stoppa in en gäst till eftersom de gamla gästerna kommer att byta rum i oändlig tid innan det blir något rum ledigt till den nya gästen. Låtsas vi som att det vore möjligt (fastän det inte är det) så är vi åter ute på odefinierat område där alla svar är lika goda. Vad är 1+2 om 1+1=3?

Med tanke på att du har en egen definition för 'numerisk ekvivalens' så blir resultatet därefter.

Du har uppenbarligen inte läst vad du länkar till. Länk nummer två förklarar varför Q och R har olika kardinalitet.

Och där kom urvalsaxiomet in på banan...