Kumulativ fördelningsfunktion (?)

Hej!

Mina kunskaper sträcker sig inte så mycket längre än grundläggande matematik, men jag är väldigt intresserad av sannolikhetslära och statistik eftersom det är av intresse för mig när jag sportsbettar.

Jag är nyfiken på hur man räknar ut att minst x antal lag av totalt y antal lag vinner sina matcher, alltså exempelvis att minst 3 av 5 lag vinner sina matcher.

Jag har sökt runt lite och funderat själv för att få klarhet i detta men har inte tillräcklig förståelse. Om alla lag skulle ha exakt lika stor sannolikhet att vinna skulle jag nog förstå hur man räknar, men hur gör man när alla lag har olika stora sannolikheter att vinna? Jag tror det handlar om kumulativa fördelningsfunktioner men är inte säker.

Exempelvis:

Lag 1 har 35% sannolikhet att vinna
Lag 2 har 40% sannolikhet att vinna
Lag 3 har 50% sannolikhet att vinna
Lag 4 har 55% sannolikhet att vinna
Lag 5 har 65% sannolikhet att vinna

Hur räknar man ut sannolikheten för att minst x antal lag av dessa vinner sina matcher?

Känner ni till någon enkel och behändig kalkylator där man kan mata in sannolikheterna för varje enskild match och x (hur många lag som minst ska vinna sina matcher)?

Om vi förenklar problemet så det blir binärt. Säg att det är 50% chans att hemma laget vinner, och 50% för X eller 2.

Då kan du använda en binomialtabell för att få fram sannolikheterna för x antal hemmavinster. Bin(p=.5, n=5).

T ex att ett hemma lag av fem vinner är 15%, att minst ett lag vinner är 97%, att inget hemma lag vinner är 3%, osv.

Här kan du peta in sannolikheten för lyckat försök, antal försök, antal lyckade (.5,5 och 1 som ovan)
https://stattrek.com/online-calculator/binomial.aspx

Tack så mycket, väldigt intressant!

Hur gör man om sannolikheterna för att varje lag ska vinna varierar?
Finns det något sätt att räkna med den exakta sannolikheten för varje enskilt lag som i exemplet i mitt första inlägg?

Om det är alldeles för besvärligt eller svårt att räkna ut, tror du att man kan komma tillräckligt nära det rätta svaret genom att helt enkelt använda medelvärdet av de olika lagens sannolikheter att vinna? Blir det i så fall applicerbart även om det är stor differens mellan de fem lagens olika sannolikheter att vinna (ex. 10%, 25%, 40%, 60%, 90%)?

Låt p1 resp q1 vara sannolikheterna för vinst resp ickevinst för lag 1, etc.

Det finns sammanlagt 2⁵=32 olika kombinationer av vinster och ickevinster. Av dessa vill du summera alla sannolikheter för minst 3 vinster.

Det finns sammanlagt
"5 över 3" = 10 kombinationer med exakt 3 vinster
"5 över 4" = 5 kombinationer med exakt 4 vinster
och förstås 1 kombination med exakt 5 vinster
Dvs det är 16 av de totalt 32 kombinationerna som du måste summers sannolikheterna för.

För att förenkla notationen låter jag nu t ex
ppqpq = p1•p2•q3•p4•q5.

Den sannolikhet du söker ges då av denna summa av 16 termer:

Men enklare är nog att skriva ihop ett litet program med 5 nästlade loopar, en loop för varje lag över vinst resp ickevinst, samt summera i den innersta loopen över alla fall där det är minst 3 vinster.

Fantastiskt, precis det jag sökte! Tack så mycket!

Det gör det med det blir rätt snabbt rätt komplicerat. Det är straight forward att räkna ut sannolikheten för alla rätt, det är bara att multiplicera sannolikheterna. Problemet uppstår när du vill räkna ut att x antal vinner.

Det enklast sättet att göra det på är via simulering. Kräver ju lite programmering eller excelkunskap.

Vad du skulle kunna vara intresserad av är fel satta (enligt din förkunskap) odds. Du kan räkna ut baklänges vad odds -sättarna har gett en händelse för sannolikhet att inträffa. (Odds är helt enkelt sannolikheten att något inte inträffar dividerat med att det inträffar. I sverige måste du dra ifrån 1 på speloddsen då det är insatsen. Så om ett svenskt odds är 4, så tycker dom att det är 25% chans att det händer. .75/.25 =3.)

En grafisk variant, som kanske inte är så enkel i större sammanhang, men som kan ge viss förståelse, är att rita upp ett "träd".

Lite fult ritat:
De tre grenarna markerade med * visar de kombinationer som ger en vinst.

Grundat på nerdnerds uppställning får jag sannolikheten till 7691/16000 ≈ 0.480688.

Tack för era svar!

Med bara en till decimal blir det exakt: 0.4806875.

Skrev du kod eller slog du in allt? Får iaf samma med en liten kod.

Jag var lat och tog din utmärka lista och läste in i Mathematica och tilldelade sannolikheter och beräknade summan.

Min kod jag använde för detta, och körde i androidmobilen.

Är det någon som kan gissa vilket programmeringsspråk det är?