Klurig exponent

En uppgift som jag kom på:
Undersök lösningarna till ekvationen e^ax = x^2 för olika värden på a. Undersök också för komplexa värden på x. Undersök alltså hur många lösningar ekvationen har.
Ett komplext värde bör du kunna gissa!

Haha kom du på den! Det är inte så att du vill att vi ska hjälpa dig lösa en uppgift i din bok som du inte kan lösa på egen hand?

Om du tar den naturliga logaritmen av högerledet samtidigt som du höjer upp det med naturliga basen, så kan vi likställa exponenterna. Därefter har du alla dina lösningar.

Vad händer om du tar e-logaritmen på VL och HL? Detta borde inte vara problem då funktionerna är kontinuerliga och ln(x) också är kontinuerlig.

a*ln(e^x)=2ln(x)
ax=2lnx
a=2lnx/x
HL kan inte bli 0 så a ska vara skiljt ifrån 0.
För andra reella a har ekvationen en unik lösning. x ska också vara skiljt med 0 men det påverkar väl dock inte vad a får anta?
Vet inte om det rätt, någon annan för ta över.

Nej, Jag vill inte ha hjälp att lösa en uppgift! Jag har säkert läst mer än de flesta, för 50 år sedan.
För övrigt så är det inte så enkelt som du säger.

a kan vara = 0 i ursprungliga ekvationen.

ja om x=0

ok så får a=0 så måste x=0 annars saknas lösning
om a är skiljt ifrån noll och x är skiljt ifrån noll finns entydig lösning.

e^0 = x^2 är lösbar! Och x=0 är ingen lösning.
Frågan är också hur många lösningar ekvationen har!

Skojig, men omfattande så jag orkar inte just nu, och i synnerhet inte på iPad...
En ”rolig” lösning är x=i för alla a=(2n+1)PI.

Jag tror frågan är lite för generell. Mathematica ger svaret
Om man istället begränsar sig till \(a,x\in\mathbb{R}_{>0}\) och frågar hur många lösningar ekvationen har beroende på \(a\) blir det en överkomlig övning i derivata för gymnasiet.

Tack för det, men hänger inte med. Vad betyder productlog? Och så fungerade inte TeX, trots Google Chrome med tillägget aktiverat.
Hur många lösningar som finns kan man ta reda på genom att rita exp-funktionen och x^2 kurvan för några värden på a, ex a=1, 0.75 och 0.6. Sedan måste den nog lösas numeriskt.
En komplex lösning ser du ganska snart, men finns det flera komplexa lösningar?

ProductLog finns dokumenterad på denna sida.

Brukligt i problem med att finna antalet lösningar beroende på en parameter, säg a, är att teckna ekvationen a = f(x) och därefter finna utseendet på f(x) och sedan uttala sig om antalet lösningar beroende på a. Lösningen involverar derivata, lokalt maximum/minimum, teckenstudie samt div. asymptoter. Problemet är vanligt förekommande i Analys 1 på högskola men även en gymnasist skulle med lätthet klara av problemet, speciellt med dagens grafräknare.

Tack för det, MathNerd.
Men ProductLog hittar väl bara en lösning? Jag har inte provat Mathematica!
Och den andra frågan - Finns det andra lösningar för komplexa tal.förutom den uppenbara med a= pi och x blir = i.