Klurig exponent

Det finns oändligt många lösningar.
Andra frågan: En annan "snygg lösning" är a=(2n+1)π, n heltal, och x=±i.

Mathematica är onekligen kraftfullt och ibland svarar programmet med något som kräver vidare forskning, om man inte känner till det sedan tidigare. Det är inte alltid svaret är "tydligt".

Mathematica i sig är intressant. Det flyttar fokus från beräkningsteknik till problemformulering/modellering. Jag vet ej om det är "morgondagens skola". Vi får se hur skolan utvecklas. Den nya läroplanen tror jag sätter ännu mera fokus på digitala hjälpmedel och programmering. Som parentes kan jag nämna att jag löste ett geometriproblem från Studentexamen 1930 på Mathematica igår. All "besvärlig" algebra lämnades åt Mathematica. Det var mest ett test. Tack vare en nyligen helt "underbar" uppdatering av Catalina har nu datorn (och Mathematica) beslutat sig för att inte längre skriva ut eller spara PDF-filer. Annars hade jag publicerat försöket. Vi får se längre fram om det kommer en uppdatering så återkommer jag till diskussionen "Mathematica vs. papper/penna".

Tack igen.
Som jag löst det så blir det en lösning om a ex = 1, tre om a ex = 0.5 och en samt en dubbel om a = ca 0.75 .
Komplexa givetvis blir det oändligt många om man adderar 2n*pi. Men finns det någon helt annan? Komplex z med både real och imaginär del?

Ps Finns det någon gratis demo av Matemathica?

Om både a och x är reella är det en "klassisk" uppgift.

e^(ax)=x^2
ax=2ln(x)
a=2ln(x)/x (1)

Studera grafen y=f(x) där f(x)=2ln(x)/x.
Sök lokala extrema och utvärdera antalet lösningar till ekvation (1).
Grafen ser ut så här.
Beroende på vilken "höjd" grafen y=a lägges kan man uttala sig om antalet lösningar, 0, 1 eller 2.

Jag tror inte det finns en gratisversion. Det finns demo som varar i 30 dagar. Skolor och elever har även förmånliga priser där man kan betala per termin. Mathematica Online är "serverversionen" och man behöver alltså ej installera något lokalt. Priset är f.n. ca. 69 pund/år alt. 7 pund/månad. Det kan ev. löna sig att fråga sin skola/institution/... om det finns avtal med dem.

Troligtvis likvärdigt, möjligtvis utan "ekosystemet", är Maxima. Det är gratis. Jag har ej använt det. Maximamotorn används framgångsrikt i olika onlinetjänster. Ev. är inlärningströskeln högre i Maxima då "ekosystemet" för Mathematica är starkare. Maple är en annan konkurrent, men dyrare tror jag. MatLab vet jag inget om.

Ej 100% svar din fråga, utan en lättare variant.
Lösningsförslag

Jag är tyvärr inte med på hur du resonerar. Du anger a som funktion av x och analyserar den. Men a är en parameter som kan anta olika värden. Och om jag, som sagt, plottar kurvsan för olika värden på a så får jag att det blir lösning om a = 1, tre om a = 0.5 och en samt en dubbel om a = ca 0.75 . Alltså tre om a < 0.74 och en om a > 0.75.
Jag plottar exp(ax) och x^2 med geogebra och låter a vara en glidare mellan 0.5 och 1. Negativa a ger ungefär samma resultat. Men jag har inte gjort någon analytisk beräkning. Ekvationen har nog ingen analytisk lösning utan måste lösas numeriskt.
Men jag ska undersöka kurvan analytiskt - senare eller imorgon...

Jag begränsade till x>0 i den modifierade uppgiften.
Studera ekvationssystemet

y=2 ln(x)/x
y=a

genom att studera utseendet på kurvan y=2 ln(x)/x och placera sedan in den horisontella linjen y=a för att fastställa antalet lösningar till ekvationssystemet ovan.

Ok, Då är jag med! Du brukar kunna dina saker! Och 2/e är just ca 0.74 där gränsen går enligt min grafiska lösning.
Men frågan om komplexa lösningar får vi ta en annan dag!

Nu har jag bara kastat ett getöga på den här tråden men påminns direkt om Lamberts W-funktion. Om båda leden i e^ax = x^2 multipliceras med ax kan resultatet skrivas W(ax^3) = ax. Om det går att exploatera vet jag inte på rak arm, behöver hitta mina anteckningar om Lambert.

Lamberts W känner jag inte till. På en annan sida där jag lade upp problemet fick jag svar:
x=e^(-W(-a/2)) ger oändligt många lösningar.
Men det stämmer inte med ditt svar. Och för reella värden har vi kommit fram till att det, om a> 0, finns en lösning för x<0 och ingen eller två för x> 0. Vad säger du och MathNerd?

Lamberts W är, med reservation för någon transformation av argumentet, samma som ProductLog. Jag har inte haft tid att se närmare på detta. Corsendonk kan mycket väl ha rätt ang. detta.
Antalet lösningar för x>0, x reellt, är löst ovan. Jag får se om jag får tid till fallet x<0, x reellt.

För \(x\in\mathbb{R}_{<0}\) har vi, med \(y=-x\), ekvationen
\[
e^{ax}=x^2
\quad\Leftrightarrow\quad
e^{a(-y)}=(-y)^2
\quad\Leftrightarrow\quad
e^{-ay}=y^2
\quad\Leftrightarrow\quad
-ay\ln(e)=2\ln(y)
\quad\Leftrightarrow\quad
a=-\frac{2\ln(y)}{y}, \quad y>0.
\]
Fortsätt med samma metod som tidigare för att bestämma antalet lösningar beroende på \(a\) eller använd att det är en spegling i \(x\)-axeln.

Kan även nämnas att den också går under namnet Lamberts W-funktion.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function