Hur beskrivs det största matematiska talet?

Grahams tal är ändå långt större. Långt större än du kan föreställa dig. Grahams tal är helt enkelt så monstruöst stort att det går inte ens att föreställa sig.

Jag har aldrig funderat över största tal, men mitt svar var till inlägget som inte kunde föreställa sig ett större tal än en etta på en atom och nollor på alla andra. Då menade jag att en nia på alla atomer blir ett större tal, vilket var ett enkelt sätt att visa på ett större nummer.

Jag är inte matematiker och har svårt att ta till mig definitionen på Grahams tal.

Det är över hundra år sedan Cantor upptäckte en aritmetik för oändliga mängder, kardinaltalsaritmetik. Se wikipedia.
Dessa kardinaltal som är vissa välordnade mängder byggs upp underifrån i välordningsklasser och fortsätter en bra bit innan det blir en modell för ZFC. Då kan man fortsätta att bygga underifrån en bit till. Sedan kan man tvinga fram större mängder genom att ställa kombinatoriska krav så att säga utifrån, det blir då s.k. stora kardinaltal, genom begrepp från Ramsey-teorin, teorin för ultrafilter/mätbarhet mm. Det finns bra wikipediaartiklar om detta, se large cardinals.

Om vi säger så här:

Det finns alltså i storleksordningen 10^85 st. atomer i universum. Om du så skriver talet 10^85 på varje atom så får du totalt i hela universum bara (10^85)*(10^85)=10^170
En nolla med 170 nollor efter alltså. Detta är fortfarande INGENTING jämfört med Grahams tal.
Även en tal som 10^1000000000000000000000000000000000000 kommer inte ens i närheten, man måste göra "exponent-torn" för att ens börja kunna skriva Grahams tal.

Det är väl egentligen ingen som "förstår" talets storlek, inte ens Graham själv. Men att använda det formellt i ett bevis kan en matematiker göra då det är lite av en annan sak.

Grahams tal är ingenting jämfört med grahamstal fakultet. Men ändå oändligt långt kvar till infinity.

Istället för att hitta era lösningar i botten på Cornflakespaketen kan ni ju börja med att se filmen...

https://www.youtube.com/watch?v=oXGm9Vlfx4w

Tree(3) är tydligen mycket större än Grahams number

https://www.youtube.com/watch?v=3P6DWAwwViU

Det är givetvis inte meningsfullt att fråga om ett generellt största tal utan sammanhang. För alla (reella) tal n så går det alltid att bilda talet n+1 i all oändlighet. Huruvida man i praktiken kan enumerera dessa är irrelevant. Således är svaret att det inte finns något 'största' tal i den mening vi oftast avser när vi pratar om tals storlek.

För skojs skull så kan vi betrakta frågeställningen utifrån ett sammanhang för att komma fram till någonting intressant. Någon tidigare här nämnde något om att "skriva siffror på alla partiklar i universum", vilket inspirerar oss att ställa oss frågan hur mycket information kan vi representera i universum? Det skulle kunna vara en kandidat till ett största tal för någon definition av "största tal".

Genom att relatera ett mått av entropin i universum med motsvarande Shannon-entropi för att kvantifiera informationsbärande bitar i universum skulle man kunna uppskatta maximal informationslagring till 10^120 bitar, vilket skulle motsvara ett tal av storlek 2^(10^120), vilket är ett ohemulskt stort tal. [1]


[1] https://physics.stackexchange.com/questions/4118/how-many-bytes-can-the-observable-universe-store

Nu är ju själva poängen med tal som G och TREE(3) att de är ännu större än 2^N där N är antalet siffror som ryms i observerbara universum. Vi kan således inte namnge ett godtyckligt tal i intervallet [G, TREE(3)] därför att universum har mindre informationskapacitet än det refererade talet. Vissa tal sticker ut genom att ha låg entropi trots sin enorma storlek.

Här tycker jag att man ser lite av det fantastiska med den mänskliga hjärnan. Vi kan beskriva tal som i någon mening är större än universum. För att återkomma till Tejprullens inlägg: visst går det att alltid hitta ett större tal, men både G och TREE(3) beskriver något, enumererar och kopplas till någon välbeskriven process eller till och med (ett otroligt abstrakt) föremål. De är inte tagna ur luften och det är därför vi människor är så fascinerande av dem. Alla de riktigt stora talen används till något eller beskriver en i teorin enumerabel process och är inte ryckta ur en hatt.

Det är väl närmast en truism. Bland alla oändligt många stora tal är det bara dessa enstaka som fångat vår uppmärksamhet. Om de inte användes till något skulle de inte fått ett namn eller blivit så kända att de hamnat på wikipedia.

Är det bevisat?