Ickelinjär kvantfysik

Ibland hör man det diskuteras om huruvida kvantvärlden verkligen är så linjär som vår nuvarande teori föreslår. Det skulle kunna vara så att verkligheten är ickelinjär men att vår kvantfysikaliska modell stämmer till en väldigt god approximation.

Vad skulle det innebära om kvantfysiken var ickelinjär, kan den vara det på ett sätt eller finns det olika varianter?
Hur skulle matematiken bakom dessa ickelinjära korrektioner se ut?

Det första jag tänker på är någonslags korrektion i Schrödingerekvationen som innefattar ickelinjär algebra. Men troligen skulle väl även principen om superposition kunna visa sig vara "felaktig".

Om kvantvärlden går i zickzack, är den fortfarande linjär då? Zickzacken består ju av en linje, fast den är zickzackad?

Schrödingerekvationen är en ickerelativistisk ekvation som kan ses som en approximation till Dirac- respektive Klein-Gordon-ekvationerna. Dirac kan utvecklas i den stora och lilla komponenten och genom lite matte kan man återfå Schrödinger plus ett antal icke-linjära korrektioner (HF, Lamb, Knight och allt vad de heter). Så ja, kvantmekanik är ickelinjär.

Tittar vi på standardmodellen och de algebror (eller vad algebras översätts till på svenska) som genererar/beskriver fälten är vissa av dem icke-abelska. Genom ett antal steg leder det t.ex. till den asymptotiska friheten i QCD som är i högsta grad icke-linjär.

Nu var det länge sedan jag i detalj jobbade med detta, men icke-linjäriteten bryter inte superpositionsprincipen om jag minns rätt.

Nu tror jag faktiskt att du blandar ihop begreppen lite. Även KG och Diracekvationen är linjär i vågfunktionen Ψ, och det är just därför som en summa av lösningar också är en lösning. Dvs det är just därför som superposition fungerar. I ickelinjär kvantfysik skulle vågekvationen t ex ha med någon term av typen Ψ². Så med t ex Dirac för en fri partikel skulle man ha typ
(iγ∂-m)Ψ + kΨ² = 0
där k är någon ny konstant. Eller mer allmänt som
F(Ψ) = 0
där F är någon ickelinjär operator. Det är iaf som jag förstår det.

Givet EN sådan lösning, kan man sen förstås ändå linearisera för små störningar δΨ runt denna. Det är nog i så fall dessa δΨ som vi betraktar som vågfunktioner i vanlig linjär kvantfysik. Men när störningarna blir tillräckligt stora i någon mening så skulle det ju inte fungera längre.

Äh, blir lite osäker nu. Även "små" δΨ måste ju kunna normeras om den lineariserade modellen ska påminna om vanlig kvant. What ever.

Vanlig kvantfysik är förresten inte heller helt linjär, iaf inte enligt Köpenhamntolkningen. Själva vågekvationen är linjär, men den s k vågfunktionens kollaps är ju inte det. Något som Penrose har snackat en hel del om.

Du har helt rätt, jag tänkte helt åt skogen fel när ögonen stod i kors och jag borde ha sovit istället.

Frågan är väl väl närmast om någonting i den sk verkligheten är linjärt. Utanför matematiken alltså.
Inte en rummet och tiden är inte linjär.
Och som vi alla vet är oftast en linjär modell/approximation allt vi behöver inom ingenjörsvetenskapen.

Men när vi baserat på modeller av processer och försöker använda dessa för att göra långa prediktioner/prognoser blir resultat inte bra. Vare sig det gäller tekniska system, ekonomi etc.
Ju mer komplicerade system vi modellerar desto mer fel blir det. Metreologernas väderprognoser är mkt bra på några timmar (det flyget behöver), någorlunda på ngra dagar och värdelösa på två veckor.

Partikelfysiken är säkerligen ickelinjär men vi ändå lärt oss göra tex halvledarkomponenter.

Jag har inte hållit på så mycket med ickelinjära operatorer, knappt alls faktiskt.
Men det var lite detta som jag fiskade efter- och är nyfiken på.

Vad skulle det innebära om vi har en vågekvation där tidsgeneratorn inte längre utgör en linjär operator? Innebär detta att våra tillstånd måste leva i ett mer allmänt rum än Hilbertrummet som vi är vana vid?

Läste just på internet att det är först för ickelinjära operatorer som kaotiska beteenden dyker upp. Innebär detta att det inte finns kaotiska system inom dagens beskrivning av kvantmekaniken med linjär algebra? Och om det finns, hur dyker det då upp istället?

Tillägg: Jag har sett att det har dykt upp en del modeller som beskriver elementarpartiklarna som icke-linjära öppna system. Detta skulle t.ex. kunna förklara varför kvantisering uppkommer, kopplingskonstanternas värde, samt hur många fält som existerar och vilka.

Det är lite svårt att tolka vad du menar med frågan.
Diskussionen här handlar om huruvida det allmänna matematiska ramverket ska vara linjärt eller inte.
Om det inte är det så tror jag ändå inte att det skulle betyda att en fri partikel som inte påverkas av något annat rör sig i en icke rak bana.
(För övrig är det sällan man pratar om partiklar alls i kvantfysik men jag försökte skriva lite förenklat.)

En faktor en ickelinjär teori måste få med är att den fortfarande måste vara unitär: summan av sannolikheterna för alla möjliga händelser *måste* vara exakt ett. Feynmann beskrev hur han fick precis när han kommit på sina diagram fick frågan om metoden verkligen gav en unitär beskrivning och kom av sig helt.

Njea, vi vill i alla fall att den ska reduceras till våra vanliga unitära modeller där vi förväntar oss att sannolikheter bevaras, men en djupare struktur under den fysik vi idag känner till kan komma med nya antaganden och principer.

Kaotiska system är något som verkar vara strikt kopplat till klassisk fysik medan intrassling är något som vi endast känner till från kvantvärlden. Experiment med tre supraledande qubits har dock visat att det verkar finnas en slags korrespondens mellan dessa två världar:

https://phys.org/news/2016-07-blur-line-classical-quantum-physics.html
https://arxiv.org/abs/1601.00600

Det blir en intressant fråga om detta kan avslöja något djupare samband mellan då ickelinjära system (som är kaotiska) och kvantfysik.

På physicsforums diskuteras det ang framförallt en modell som ställer upp elektronen som ett öppet dissipativt system som styrs av icke linjära differential ekvationer (om jag förstår det rätt).

Modellen har b.la. ställts upp av Vladimir Manasson och den artikeln finns här:
https://arxiv.org/abs/0803.3300

Det är framförallt i denna tråden:
https://www.physicsforums.com/threads/quantization-isnt-fundamental.958582/ ,
som jag läst om ämnet och fick idéen till denna tråden.

Utan att ha läst artikeln i detalj så är här listan på några av resultaten (listan har användaren Auto-didact skrivit):

"Furthermore, using standard tools from nonlinear dynamics and chaos theory, in particular period doubling bifurcations and the Feigenbaum constant δ, the author then goes on to derive:
- the origin of spin half and other SU(2) symmetries
- the origin of the quantization of action and charge
- the coupling constants for strong, weak and EM interactions
- the number and types of fields
- a explanation of the fine structure constant α:
-relationship between ℏ and e."

Den här idéen kan på vissa håll ha varit lite väntad b.la. så har tydligen Penrose föreslagit någon slags ickelinjär omformulering av QM för att kunna förena den med GR. Dessutom har Gerard 't Hooft föreslagit att en dissipativ teori kan ligga bakom de fenomen som bygger upp QM.

Huruvida ett kaotiskt system skulle kunna förklara den slumpmässiga natur som vi observerar vid vågfunktionens kollaps så förklarar vidare Auto-didact att man kan komma runt Bells teorem om:

"a) there is a nonlinear reformulation of QM which is inherently chaotic in some spacetime reformulation like 2-spinors [...]
b) there exists a mathematical correspondence between entanglement and chaos,
c) some special combination of the above."

Man kanske inte ska dra för höga växlar ang saker som man läser på internetforum, men användaren Auto-Didact verkar minst sagt kunna sin fysik och stundom ha tillfälle att faktiskt personligen bolla sina idéer med Penrose själv. Hans intryck av modellen framgår i detta inlägget:
https://www.physicsforums.com/threads/atiyahs-arithmetic-physics.956055/page-2#post-6078276 .

Allt jag har läst och jobbat med själv utgår från linjära tillståndsrum och operatorer, och iaf då blir det ju som du säger. Lite osäker bara hur man öht argumenterar när det inte är linjärt. T ex vad då för sannolikheter, om man inte kan definiera dem från amplituderna i ett *linjärt* tillståndsrum? Lite förvirrad just nu. Vore najs med ett konkret ickelinjärt exempel.