Citat:
Vi har ett sannolikhetsrum (Ω,F,P) där G är en sub σ-algebra till F och A∈F. Jag ska visa att följande gäller med sannolikhet 1: 0 ≤ P(A|G) ≤ 1.
Mitt försök: Antag till exempel att P(P(A|G) > 1) = a > 0 och låt B = {P(A|G) > 1}. Från definitionen av P(A|G) har vi att P(A|G) är G-mätbar och att E[P(A|G) 1_B] = P(A ∩ B). Vi har att P(A|G) 1_B ≥ 1_B så att E[P(A|G)1_B] ≥ P(B) = a och även att P(A ∩ B) ≤ P(B) = a. Hur kan jag fortsätta härifrån?
Min andra fråga: Om X och Y är två stokastiska variabler, är det då korrekt att sigma algebran genererad av dessa, σ(X,Y), definieras enligt σ(X,Y) = {X^(-1)(B1) ∩ Y^(-1)(B2) : B1 och B2 är Borelmängder}? Är det också korrekt att P(A|σ(X,Y)) ska ses som en funktion f : σ(X,Y) --> R? Alltså, om man vet att utfallet w ligger i händelsen B ∈ σ(X,Y) så kan man utifrån detta bestämma värdet av P(A|ο(X,Y))?
Mitt försök: Antag till exempel att P(P(A|G) > 1) = a > 0 och låt B = {P(A|G) > 1}. Från definitionen av P(A|G) har vi att P(A|G) är G-mätbar och att E[P(A|G) 1_B] = P(A ∩ B). Vi har att P(A|G) 1_B ≥ 1_B så att E[P(A|G)1_B] ≥ P(B) = a och även att P(A ∩ B) ≤ P(B) = a. Hur kan jag fortsätta härifrån?
Min andra fråga: Om X och Y är två stokastiska variabler, är det då korrekt att sigma algebran genererad av dessa, σ(X,Y), definieras enligt σ(X,Y) = {X^(-1)(B1) ∩ Y^(-1)(B2) : B1 och B2 är Borelmängder}? Är det också korrekt att P(A|σ(X,Y)) ska ses som en funktion f : σ(X,Y) --> R? Alltså, om man vet att utfallet w ligger i händelsen B ∈ σ(X,Y) så kan man utifrån detta bestämma värdet av P(A|ο(X,Y))?
Jag har legat och lurpassat på den här uppgiften! Fick du något svar på denna? Tänkte bumpa den då jag hoppas att någon på forumet har koll?
Har funderat litet själv, men kan inte påstå att jag har någon lösning. På den första delen undrar jag om man antar att det finns en händelse w som uppfyller P(A(w)|G) > 1 så borde olikheten :
P(A|G) 1_B ≥ 1_B vara strikt för just detta w(och alla andra w med samma egenskap) ?
Men då får man ju en motsägelse i: E[P(A|G) 1_B] = P(A ∩ B) ?
Anledningen är ju att högerledet är lika med eller mindre än a för dylika w medans vänsterledet är större än? Om det resonemanget stämmer kan P(A|G) inte vara större än ett.
Mindre än noll brukar man inte sannolikheter vara Annars borde ett analogt resonemang med antagandet att P(A|G) < 0 funka?
Påstående nummer två är också knepigt för mig, men jag undrar om det inte är unionen istället för snittet? Det kan ju finnas något w = X^(-1)(B1) för något värde i B1, men att detta w ej kan fås från
Y^(-1)(B2)? Om jag tänker rätt här så skall den sigma algebra som genereras av X och Y vara den minsta sigma algebra som innehåller alla element man kan få från X^(-1)(B1) och Y^(-1)(B2) ?
De två sista påståendena verkar rimliga så vitt jag kan se, om A(w) är definierat.
Dock mycket gissningar här så om någon med litet mer koll råkar kolla detta vore det intressant att höra vad ni anser!
