*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Sannolikhetslära, apropå fotboll. Slutspelet i Champions League lottades idag. Dessa lag deltog:

Liverpool
Manchester City
Real Madrid
Barcelona
Sevilla
Juventus
Roma
Bayern Munchen

Hur räknar jag ut sannolikheten att följande lag slipper möta varandra?
City, Real, Barcelona, Bayern

Lottningen var helt oseedad, så alla kan teoretiskt få möta alla.

jag vill hitta en primitiv funktion till (x^2+x+1)/(x^2+1)^2 med avseende på x
Problemet är att jag inte vet hur ansättningen ser ut för partialbråksuppdelningen

hade det stått (x^2+x+1)/(x+1)^2 eller (x^2+x+1)/(1+x^2) så vet jag men inte den här

Måste du partialbråksuppdela?

Tricket här är

x^2+x+1 = x + (x^2 + 1)

[ x + (x^2 + 1) ] / (x^2+1)^2 = x / (x^2+1)^2 + 1 / (x^2+1)

Denna integrerar du lätt.

Det tricket missade jag helt, tack!

den andra termen ser jag direkt att det blir blir atan(x)+konstant

den första gör jag variabelbyte på x^2+1=t
då får jag att 2x dx=dt så jag har att hitta primitiv till 1/2 *(1/t^2) som är- 1/2*t^-1=-1/2(1/(1+x^2))

så -1/2(1/(1+x^2)) + atan(x)+konstant ?

Hej tänker på följande uppgift

Ln(x^3) / ( 5x + 15)

Ska räkna gränsvärdet då x går mot oändligheten.

Kan man se direkt att det blir noll då nämnaren växer snabbare än täljaren?
Tänker jag rätt?

Hur visar jag att den går mot noll??

Ser helt rätt ut!!

Det är lite lömskt med paranteser och "ASCII-matte", men jag utgår från att du menar

–(1/2) * 1/(1+x^2) + atan(x) + konstant

–1/2(xxx) kan lätt tolkas som -1/(2(xxx))

ln(x^3) = 3ln(x)
"15" kan du bortse från när x -> infty.

Kvar är 3ln(x)/(5x) eller 3/5 * ln(x)/x.
Det sista är ett standardgränsvärde och -> 0 då x -> infty

Skulle du behöva visa att ln(x)/x -> 0 då x -> infty så:

För x>0 gäller x ≤ e^(√x).
Det är inte så svårt att inse om du betraktar Maclaurinutveckling av e^(√x) = 1 + √x + ... och att x har konstant riktning 1 medan e^(√x) är strängt växande.

Tag ln på bägge sidor

ln(x) ≤ √x

För x≥e gäller

1 ≤ ln(x) ≤ √x

varför

1/x ≤ ln(x)/x ≤ √x/x = 1/√x

dvs.

1/x ≤ ln(x)/x ≤ 1/√x

Låt x->infty och du har att ln(x)/x -> 0

en till jag fastnat på,

X-->1 ln(x)/(e^x -e)

Här vet jag inte hur jag ska göra.

Det är fel, facit säger 0. Standardgränsvärdet är ln(1+x)/x inte lnx/x

Facit har rätt, gränsvärde = 0, vilket jag även visade.

Lite klurigare

Bryt ut e ur nämnare.
Sätt t=x-1
Använd Maclaurinutveckling och låt t->0.
Prova det.
Fullständig lösning senare ikväll om ingen annan hinner före

PS. För alla som är förtjusta i l'Hospitals regel löses den snabbare med denna, men det är ingen "sport".

Skriv om:

ln(x) / (e^x - e) = (ln(x))/(x-1) * (x - 1)/(e^x - e).

Vad blir gränsvärdet av denna produkt då x –> 1?