Rörelsemängdsmoment hos kugghjul

Min fråga är angående det lilla kugghjulets spinnhastighet. I bilden ser vi ett stort kugghjul som är fixt i vertikalplanet (rör sig alltså inte), en arm OA med längden R+r som rör sig med vinkelhastigheten θ' moturs och en litet kugghjul som bör, enligt mina beräkningar röra sig med vinkelhastigheten θ'(R+r)/r.

Jag vill nu beräkna rörelsemängdsmomentet för lilla kugghjulet map O. Jag vill få det till 3/2m(R+r)^2, där m är massan för lilla kugghjulet. Detta vill sig inte, spinndelen blir

1/2mr^2((R+r)/r), där jag antar att lilla kugghjulets vinkelhastighet runt sitt masscentrum är θ'(R+r)/r.

Vad gör jag för fel?

edit bifogade hela uppgiften om någon tyckte det var oklart.

Menar du tröghetsmomentet?


Det lilla hjulet roterar "stelt" kring A (inte kring O).
Du får dela upp rörelsemängdsmometet i två bitar:

L_O = |OA|· mv_A + (I_A)ϕ', där ϕ' är det rörliga hjulets vinkelhastighet.

Skrev från min mobil, ser nu att det blev lite rörigt. Jag beräknar stångens och lilla kugghjulets rörelsemängdsmoment med avseende på O. Stången fås enkelt om vi förflyttar masscentrumsystemet till O, då blir rörelsemängdsmomentet enbart tröghetsmomentet × θ' (stångens vinkelhastighet).

Vidare räknar vi ut rörelsemängdsmomentet för lilla kugghjulet, som tillsammans med stången ger det totala med avseende på O. Vi tidsderiverar ovan erhållna uttryck och sätter det lika med momenten (momentekvationen). Jag kommer infinitesimalt nära svaret. Är detta fel approach?

Vad blir ditt uttryck för det lilla hjulets rörelsemängdsmoment?

Hej igen, löste det på annat sätt. Istället för att använda oss utav rörelsemängdsmoment, som bara krånglar till det då vi måste ta hänsyn till reaktionskrafter mellan kugghjulen, så kan vi använda oss utav lagen om den kinetiska energin.

Vi har att

Kinetiska energin (i topp läget) = Utfört arbete = Kraften × sträckan (för varje komponent) + M_Gzdθ, där M_Gzdθ representerar kraftparsmomentets utförda arbete på anordningen (i vårt fall blir denna del = Mπ/2).

Vi får nu HL = -m₀g(R+r)/2 - m₁g(R+r) + Mπ/2 och

VL = m₀ω₁²(R+r)²/6 + 3m₁ω₁²(R+r)²/4 .

Sedan är det bara att lösa ut ω₁.