*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Jag förstår fortfarande inte varför jag får fel... jag löste uppgifterna på det här sättet (inkluderar fråga + mina lösningar)

http://imgur.com/a/96j00

Vart gick det snett??

Derivera:
f(x) = e^(x)cosx/x.

Man kan använda kvotregeln men det är ju samtidigt en sammansatt funktion. Jag får fel på den här typen av funktioner. Kan någon förklara hur jag ska tänka?

Har en del frågor om serier, spec. integraltest!

1. Avgör om det är sant att 1/2< m=1 till infinity ∑ 1/(sqrt(m) * (m+1)) <(pi+1)/2

Hoppas ni förstår uttrycket. Jag tänker att man kan göra om till en annan serie m=1 till infinity ∑ 1/m^3/2 och jämföra och köra integraltestet på, men då är det ju en annan serie man beräknar så vet inte hur man ska göra.

2. Beräkna från k=4 till infinity ∑ ln k/k^2. Jag testar integraltestet och sätter f(x)= ln x/x^2. Den är kontinuerlig, positiv, och avtagande i intervallet k≥4. Kan jag ha nedre integrationsgräns 4 och övre gräns som infinity då precis som serien eller måste jag göra om dem? När jag deriverar f(x) och kollar vart derivatan är avtagande är den det för k> e^(1/2).

3. Snarlik fråga 1 men frågan nu är: Avgör om k=1 till infinity ∑ 1/(sqrt(k)*(k+1))≤3 är sant. Jag testar integraltestet och funktionen är kontinuerlig, positiv och avtagande. Samma fråga som 1. Ska jag jämföra med en annan serie och beräkna den? Det är svårt att hitta primitiv funktion till den ursprungliga serien ju.

Det är inte en sammansatt funktion utan bara en produkt och en kvot. Du kan använda kvotregeln om du även kommer ihåg att för att derivera täljaren så måste du använda produktregeln.

Det är inte en sammansatt funktion utan bara en produkt och en kvot. Du kan använda kvotregeln om du även kommer ihåg att för att derivera täljaren så måste du använda produktregeln.

1. Notera att 1/2 < Σ_{m = 1, ∞} 1/(√(m)(m + 1)) är trivialt eftersom första termen i serien är 1/2.

Så alltså får man att man ska visa att

Σ_{m = 2, ∞} 1/(√(m)(m + 1)) < pi/2

Här kan du använda att

Σ_{m = 2, ∞} 1/(√(m)(m + 1)) < ∫_{1, ∞) 1/(√(x)(x + 1)) dx

Så beräkna integralen.


2. Ska du beräkna serien eller ska du avgöra om den är konvergent?

3. Denna är väl trivial bara man gör 1, eftersom (1 + pi)/2 < 3 så är det ju sant.

1.

3. Denna är väl trivial bara man gör 1, eftersom (1 + pi)/2 < 3 så är det ju sant.

1. Jag hänger med, men jag blir lite förvirrad när du byter från m=1 till m=2 och sedan byter du tillbaka till 1 när man ska beräkna integralen. Varför gör du det och när kan man göra det? Är det Cauchy´s integralkriterium?

2. Jag ska visa att serien är <1 så man ska beräkna den.

1. Det jag använder är att 1/(√(x - 1)x) > 1/(√(m)(m + 1)) då x < m. Så alltså är

∫_{2, ∞} 1/(√(x - 1)x) dx > Σ_{m = 2, ∞} 1/(√(m)(m + 1))

Gör man nu bytet x = t + 1 så får man integralen

∫_{1, ∞) 1/(√(t)(t + 1)) dt

det är därför man får en 1. Detta blir lite grötigt, man kolla på denna bild https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/67/Integral_Test.svg. Jämförelsen mellan serien och integralen blir på exakt samma sätt som i denna bild, bara att man flyttar staplarna ett steg åt vänster i vårat fall (hoppas du förstår vad jag menar här).

2. Okej, så svaret är alltså att man ska visa att den är mindre än 1?

Då kan du göra som på 1an. Man använder att

Σ_{4, ∞} ln(k)/k² < ∫_{3, ∞} ln(x)/x² dx

Okej, så när man ska beräkna integral kan man alltid "flytta ett steg bakåt" jämfört med serien? Alltså flytta stapeln ett steg åt vänster? Typ om serien är från 6 till ∞ och man gör integraltestet och gör det till en integral har man gränserna 5 till ∞?

Fast om serien är från 1 till ∞ kan man fortfarande beräkna integralen från 1 till ∞? Eller kan man inte tänka så?

Nej du kan inte tänka så, du måste kolla så att du verkligen får en övre gräns på serien om det är det du behöver. Är du med på varför integralen blir en övre övre gräns?