Går det att mappa en rell talaxel till en cirkel fullständigt?

Går det att mappa en rell talaxel till en cirkel fullständigt?

Några idéer:
Min första tanke var att ta reda på hur många Dedekindsnitt det finns på en cirkel. Men vad händer vid snittet mellan en punkt 0 och 2π rad.? Den punkten är väl inte definierad som ett Dedekindsnitt för att det innehåller ett största värde? (0<2π) Det måste väl alltid finnas någon punkt mellan just 0 och 2π rad. på cirkeln?

För att det ska gå att mappa den fullständigt måste det väl existera en bijektion f mellan talaxeln och cirkeln? Definiera ett f som mappar alla tal på intervallet I = {x∈ℝ, 0≤x<2pi} till en cirkelform - blir det då verkligen en cirkel? Är ändpunkterna sammanfogade? Det går väl att välja att kalla de sammanfogade om vi utgår från ett en sekvens (p_n)∈ℝ som konvergerar mot gränsvärdet p då d(p_n,p)<ε (där ε>0). Det vill säga att det bara är att välja ett ε som det funkar för? (låt p=0 och låt sekvensen konvergera mot p från "andra änden av linjen" som sveps om till en cirkel). d(x,y) är metriken för två punkter x,y. Men kan vi inte alltid välja ett ε_2<ε och låta d(p_n,p)<ε_2 så att det tidigare gränsvärdet inte längre kan anses konvergera? Det vill säga att vilket tal vi än väljer går det alltid att välja ett tal så att cirkeln aldrig sluts?

Jag orkade inte formulera mig jätteformellt, det är dessutom extremt jobbigt att skriva med logiska symboler på Flashback. Hoppas att det ändå går att förstå vad jag menar och att någon kan guida mig åt rätt håll.

Filer: http://dropcanvas.com/#7L822oS8S1w61F

Installation:
Ladda hem symbol_table.txt och antingen replace_marked_text.zip eller replace_marked_text.ahk, lägg allt i samma mapp. Zipfilen innehåller en kompilerad körbar version av skriptet. AHK-filen kräver installation av autohotkey, men då slipper du köra en .exe från internet om du inte känner för det.

Användning:
1) Skriv vanlig text med specialsymboler, typ x \in \C, x^2 < 0 => Im{x} != 0.
2) Markera all text (eller bara det du vill köra ersättning på).
3) Tryck på shift+ctrl+c (från text till symboler) eller shift+ctrl+z (från symboler tillbaka till text).

Resultat på exempeltexten: x ∈ ℂ, x² < 0 ⇒ Im{x} ≠ 0

shift+ctrl+h öppnar symbol_table.txt i notepad, så att du kan införa stöd för egna symboler, enkelt format men läs i toppen av filen!

Skriptet är korkat (hrm.. enkelt?) skrivet, det läser igenom symbol_table vid varje ersättning. Funkar bra och snabbt med nuvarande storlek på symbol_table, men kan vara bra att veta.

Tack för tipset, jag kör dock Linux så det var lite förjäves. Jag ritar en bild på hur jag tänker. https://sketch.io/render/sk-5748271f71d78.png

f mappar varje x på den reella talaxeln 0≤x<inf till en punkt y på cirkeln 0≤y<2pi. Då har jag antagit att man kan förskjuta de negativa reella talen till den positiva delen. Försluts någonsin cirkeln så att det faktiskt är en cirkel och inte en linje i en cirkelform? Vad händer i övergången mellan 0 och 2pi?

Nja. Rent spontant tänker jag att det går utmärkt att mappa en tallinje på ett cirkelsegment. Men om jag låter segmentet växa mot 2 pi kollapsar det hela. Och vi förstås får en punkt som inte är odefinierad men inte uppfyller en ett-ett avbildning.
Eller behöver jag fundera mer

Orkar inte försöka förstå precis hur du tänker här, men svaret är nog iaf JA. Man kan ju mappa riemannsfären till det komplexa talplanet OM man lägger till en oändlighetspunkt. Och detta kan då dessutom göras med högt ställda krav på analyticitet osv.

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere

Om du med fullständigt avser att de ska vara homeomorfa så är svaret nej. En homeomorfi mellan två topologiska rum inducerar en isomorfi mellan deras fundamentalagrupper. Men Pi(ℝ)=0 medans Pi(S^1)=ℤ, alltså kan de inte vara homeomorfa.

Ja, absolut (jag antar att du menar bara bijektion, inte homeomorfi). x → 2 arctan x + π är en bijektion mellan alla reella tal och 0 < x < 2π vilket motsvarar en cirkel utan en punkt. Och en cirkel utan en punkt har lika många punkter (har samma kardinalitet) som en full cirkel eftersom tillsättande eller avlägsnande av ändlig mängd element till/från en oändlig mängd påverkar inte kardinalitet. Alltså det finns bijektion hela vägen, bara ingen vet hur den ser ut.


Det går att definiera Dedekindsnitt på en cirkel men det blir ändå oklart hur många av dem finns.


Ja, om man definierar allt rätt. Om jag minns rätt så tar man slutna intervallet I = {x∈ℝ, 0≤x≤2π} och lägger till avbildning från den ena randen (x=0) till den andra (x=2π) som representerar sammanfogning. Avbildningen blir trivial förstås, finns inte så många sätt att avbilda en punkt till en punkt Det är så man definierar en cirkel inom topologi (tror jag). Liknande konstruktion är möjlig för mångfald av högre dimensioner, t.ex. {0≤x≤1, 0≤y≤1} och (x=0, y) → (x=1, y) är en cylinder och {0≤x≤1, 0≤y≤1} och (x=0, y) → (x=1, 1-y) är Möbiusband.


Förlåt, jag förstår inget.

Ja, utvidga det komplexa talplanet ℂ med oändlighetspunkten ∞.

Möbiusavbildningarna w = (az+b)/(cz+d) är linjära och injektiva. De avbildar ”cirklinjer” (= cirklar eller linjer) på ”cirklinjer”:
https://people.maths.ox.ac.uk/earl/G2-lecture4.pdf

Om punkterna z1 = -1, z2 = 0, z3 = ∞ skall avbildas på w1 = i, w2 = -1, w3 = 1 respektive, får vi

w(z) = (z-i)/(z+i),

som avbildar realaxeln på enhetscirkeln *).

-------------
*) Jfr Example 48 i den länkade artikeln där den inversa transformationen härleds.

Genom arctan : ℝ → (-π, +π) kombinerad med (cos, sin) : (-π, +π) → S \ { (-1, 0) } kan vi enkelt avbilda reella axeln på enhetscirkeln men missa en punkt.


Det finns dock ett icke-kontinuerligt sätt att avbilda ett öppet intervall på ett halvöppet intervall. Definiera φ : (0, 1) → (0, 1] genom φ(t) = 2t om t = 1/2^n för något naturligt tal n, annars φ(t) = t. Avbildningen innebär att varje punkt i följden 1/2, 1/4, 1/8, ... dubblas till 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... Punkten 1 täcks alltså nu, till skillnad från tidigare, samtidigt som 1/2, 1/4, 1/8, ... täcks både nu och tidigare. Den enda punkt som inte täcktes tidigare men gör det nu är alltså 1. Sålunda har (0, 1) utvidgats till (0, 1].

Genom denna metod kan vi utvidga (-π, +π) till (-π, +π] som genom (cos, sin) kan mappas till hela S:
(cos, sin) : (-π, +π] → S

Alltså, (cos, sin) o φ o arctan : ℝ → S.