*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Du har satt g som f begränsad till enhetscirkeln. Men enhetscirkeln är inte rand till området på vilket du söker max och min.

Är det g(1/5) och g(2) jag ska undersöka?

tror han menar att området är som en "ring" en badboll, donut,stekt ägg, mexicohatt sedd uppifrån

tomma ringen har radien 1/5 och hela ringen inklusive tomma ringen har radien 2
så du behöver kolla randen inne och ute

Ja, och det borde vara g(1/5) och g(2)?

Jag är med på den relationen, men vet inte vad som gäller för deras egenvektorer?

Ta någon diagnonaliserbar matris B. Låt PDP^(-1) = B där D är diagonal, vad har D för egenvektorer? Är det samma egenvektorer som för B?
Om du inte lyckas svara på detta utan att räkna, ta då en symmetrisk matris B i exempelvis R^{3x3} och räkna ut vad D och P är och räkna ut egenvektorerna.

LÖSA EKVATIONSYSTEM.

Uppgiften: http://www.ladda-upp.se/bilder/nymspnlctpkghp/

Lösning: om jag kallar ekvationerna

(1)
(2)
(3)
(4)

så löser jag ur ekvation (4) till B=1-D som sätts in i ekvation (3) då får vi:

A-sqrt(2)B+C+sqrt(2)D=0 där B=1-D då: A-sqrt(2)B+C+sqrt(2)D=0 =>
A-sqrt(2)1-D+C+sqrt(2)D=0 <=> A=sqrt(2)1+D-C-sqrt(2)D den nya ekvation (3) stoppas in i ekvation (2): och ersätter då A:

-sqrt(2)sqrt(2)1+D-C-sqrt(2)D+1-D+sqrt(2)C+D=0 löser ut c då.

C=-sqrt(2)sqrt(2)1+D-sqrt(2)D+1-D+sqrt(2)C+D soms stoppas in i ekvation (1) vi vet ju vad A= och vi vet vad C= så då får vi:

A+C=0
= sqrt(2)1+D-C-sqrt(2)D-sqrt(2)sqrt(2)1+D-sqrt(2)D+1-D+sqrt(2)C+D = 0
= -1+sqrt(2)-C+sqrt(2) C+2 D-2 sqrt(2) D = 0

men det är fel.

rätt svar är:

A=1/sqrt(8)
B=1/2
C=-1/sqrt(8)
D=1/2.


kan ngn visa mig hur man gör?

Nej, för g är en funktion av vinkeln, inte av radien. Du har ju satt g(φ) = f(cos φ, sin φ).
De funktioner du ska undersöka är h(φ) = f((1/√5) cos φ, (1/√5) sin φ) och k(φ) = f(√2 cos φ, √2 sin φ), dvs f tagen vid radierna 1/√5 respektive √2.

Antag att n är ett heltal. visa att (n-1)^2 + (n+1)^2 är ett jämnt tal.

(n^2 -2n +1) + (n^2 +2n +1) =

2n^2 + 2

2(n^2 + 1)

2(k)

Gör jag rätt här?

Definitionsområdet, dvs hålskivan 1/5 ≤ x² + y² ≤ 2, har två randcirklar.
Vilka radier har dessa cirklar?

Du får ”g(φ)” för inre och yttre randcirkel (med radierna r och R) om du stoppar in

x = r*cos(φ), y = r*sin(φ)
resp
x = R*cos(φ), y = R*sin(φ)

i f(x,y).

Jag vet inte riktigt vad du inför k som, men alla termer som har en faktor 2 är jämna tal. Därför är 2(n^2 +1) ett godtagligt svar som visar det du vill, med den motiveringen.

h(φ) = f((1/√5) cos φ, (1/√5) sin φ) = 4/[(1/√5)cos²(φ) + (1/√5)sin²(φ) + 1] + 2[(1/√5)cos(φ)(1/√5)sin(φ)] =
= (1/5)sin(2φ) + ((4√5)/(1 + (√5))).

k(φ) = f(√2 cos φ, √2 sin φ) = 4/[(√2)cos²(φ) + (√2)sin²(φ) + 1] + 2[(√2)cos(φ)(√2)sin(φ)]
= 2sin(2φ) + ((4)/(1 + (√2))).

Något sådant?