Matte[Bevis]

Kan någon vara snäll och bevisa nedanstående sats, jag förstod mig inte riktigt på min föreläsare.

f är definierad på [a,b]

f är monoton

f antar mellanliggande värden

------> f är kontinuerlig

Det är väl logiskt? Om funktionen ska ta sig till b från a på ett kontinuerligt sätt måste den ju anta alla värden emellan eftersom den är just kontinuerlig.

Om funktionen är monoton kan den bara ha hoppdiskontinuiteter. Men om den antar alla värden kan den inte ha det. Dessa två villkor tillsammans betyder att den måste vara kontinuelig.

ja det är logiskt. Det är dock ett steg i bevisföringen som förvirrade mig inte satsen intuitivitet.

tack för ditt svar! jag förstår satsen förutsättningar och innebörd, det är dock ett steg i det strikta beviset som jag inte förstod mig på.

Funktionen är definierad för hela intervallet [a,b] - betyder att det inte finns något gap däremellan.

Funktionen antar alla värden mellan f(a) och f(b), dvs alla värden besöks minst en gång.

Funktionen är monoton, dvs ökar x måste f(x) antingen alltid öka eller alltid minska eller vara oförändrad, dvs om k<l så är f(k) < eller = f(l) (för ökande monoton funktion).

Låt oss titta på fallet ökande.
Säg att det finns gränsvärden som skiljer sig för f(k) och f(l). Isåfall finns det värden mellan f(a) och f(b) som hoppats över (hoppdiskontinuitet). Men funktionen är ökande monoton, dvs f(l+e)>f(l) och f(k-e)<f(k), dvs dessa överhpaade värden kommer aldrig antas, viklet vi sa att de gjorde.

Exakt vad är det du inte förstår?

Nu vände du på det som ska visas. Det var inte "om f är kontinuerlig som antar den mellanliggande värden" som skulle visas utan ungefär det omvända.

Såsom är fallet i f(x) = x för K = -1 och L = +1? Där gäller lim_{x→K} f(x) ≠ lim_{x→L} f(x).


Varför? Kanske förstår jag inte vad du menar här på grund av att jag inte förstår vad du menar ovan.

i beviset som jag fick så delade man upp intervallet i två delar.

{a1}:= [a,x[ och {b1} := ]x,b]

sup A <= f(x) , inf B >= f(x)

därmed så gäller det att för alla element {a1} och {b1}

sup{a1}<=f(x)<=inf{b1}

man visar sedan att likhet gäller genom ett motsägelsebevis

anta att sup{a1}<f(x) , då gäller att sup{a1}<y<f(x)

y = f(x0) ====> x0 < x

det är nästa steg som jag inte förstår.

x-epsilon < x0 ====> x0 = x (varför?)

därmed så gäller sup{a1}=f(x) , vi visar inf{b1}=f(x) analogt.

Vi har x - epsilon < x0 < x för alla epsilon. Detta ger en instängning av x0 som tvingar x0 till att vara lika med x.

ok tack!