Matte[Serier]

Är det någon som vet hur jag ska tänka på uppgifterna g och h ? kvotkriteriumet ger att g och h går mot noll men enligt facit så är endast g konvergent medan är h divergent.

https://imgur.com/y1AH72m

Kvotkriteriet:
((a/(k+1))^(k+1) (k+1)!) / ((a/k)^k k!) = a (k^k/(k+1)^(k+1)) (k+1)
= a (k/(k+1))^k = a/(1+1/k)^k -> a/e

För a = 2 gäller a/e < 1 varför vi får konvergens.
För a = 3 gäller a/e > 1 varför vi får divergens.

Tack! Följdfråga, räcker detta som bevis för hur serierna beter sig eller måste använda sig utav en jämförelse med en serie vars beteende är känt?. Att hitta en lämplig serie att jämföra med tycker jag är krångligast i denna typ av uppgifter.

Om ni har gått genom kvotkriteriet så borde detta räcka.

Vore tacksam om du kunde förklara hur man tar reda på att 1/(ln(k!))^2 konvegerar.

Jag vet att 1/ln(k!) divegerar men förstår inte hur ja ska använda mig utav detta.

ln(k!) = ln(2) + ln(3) + ... + ln(k) ≥ ln(2) + ln(2) + ... + ln(2) = (k-1) ln(2).
1/ln(k!)² ≤ 1/((k-1) ln(2))² ~ 1/k²

ok tack så mycket manne!