*** Matteuppgiftstråden [För de som inte vill skapa en egen tråd] ***

Hej, har uppgift/figur/facitsvar kring geometri/likformighet som jag inte förstår.

Förstår av facit att det finns två likformiga trianglar i denna figur/uppgift.

Men hur kan vi veta, undrar jag?

Det enda jag ser är att det självklart är en rät vinkel (90 grader) i båda "hörnen" (rätt ner i pyramidens mitt och rätt ner på staven). Men en likformig vinkel ska ju inte ge likformighet, det krävs ju två.


Uppgiften:

Bilden visar en gammal egyptisk metod att bestämma höjder med. Stavens längd är 1,2 m och dess skugga är 1,9 m. Pyramidens skugga sträcker sig 228 m från pyramidens mitt.

a) Vilka trianglar är likformiga i figuren?

b) Bestäm pyramidens höjd? (Denna klarar jag utan problem, när jag tar förhållandet (228/1,9 = 120)x 1,2 = 144.


Här är figuren:

http://draw.to/D2kfTlZ


Obs! Borde inte skuggan till pyramidens ena sida och den sida skuggan kommer från vara likformiga trianglar? Facit nämnder inte detta!


Tacksam för hjälp att förstå svaret, som är:


"Triangeln som formas av pyramidens höjd, sträckan från pyramidens mitt + skuggan och solstrålen är likformig med triangeln som formas av staven, dess skugga och solstrålen"

Det jag inte förstår är alltså, om man kan utgå från likformighet bara eftersom det finns en rät vinkel i båda trianglarna? Det verkar så på facit ovan ju.


Tacksam för hjälp!

Har en fråga om detta gränsvärde:

lim ((3^h)-1)/h
h->0

Hur ska man göra detta? Är det någon form av instängning man bör tillämpa? Det påminner ju väldigt mycket om standardgränsvärdet ((e^x)-1)/x.

Det gränsvärdet är ju definitionen av förstaderivatan för funktionen f(x) = 3ˣ i punkten x = 0. Tänk på att 3⁰ = 1.

Hur visar jag det då?

lim (f(a+h) - f(a))/h är ju derivatans definition.
h->0

Som du säger så betyder detta alltså att jag kan ställa upp följande


lim (3^(0 + h) - 3^0)/h Svaret skall bli ln3 så jag antar att jag är tvungen att logaritmera på något vis.
h->0

Du har skrivit ut derivatans definition. Nu behöver du bara förenkla för att se att det överensstämmer med det du har i din uppgift.

3^(0 + h) = 3^h
3^0 = 1

Sätt in dessa så ser du att det är samma som du började med. Sedan använder du bara deriveringsregler för att derivera f(x) = 3ˣ en gång och sätter sedan in x = 0 så har du ditt gränsvärde.

Okej, jag är med på detta någorlunda.

f(x) = 3^x = e^hln3

derivf(x) = ln3e^hln3 där faktorn e^hln3 går mot 0 då h går mot 0 och faktorn blir 1. Alltså har vi ln3 kvar. Men är inte hela poängen med derivatans definition att man inte ska behöva derivera med hjälp av deriveringsregler? Hur jag bokför jag detta korrekt?

Okej, jag är med på detta någorlunda.

f(x) = 3^x = e^hln3

derivf(x) = ln3e^hln3 där faktorn e^hln3 går mot 0 då h går mot 0 och faktorn blir 1. Alltså har vi ln3 kvar. Men är inte hela poängen med derivatans definition att man inte ska behöva derivera med hjälp av deriveringsregler? Hur jag bokför jag detta korrekt?

Du skriver helt enkelt ungefär vad jag skrivit, fast i omvänd ordning. Börja med att notera att 3^h = 3^(0 + h) och att 1 = 3⁰ och gör sedan dessa substitutioner i gränsvärdet som uppgiften efterfrågar. Sedan noterar du att detta är ekvivalent med definitionen av derivatan av 3ˣ för x = 0. Därefter beräknar du denna derivata för att få ut gränsvärdet som söktes.

Derivatans definition är snarast att beskriva som ett sätt att härleda deriveringsregler, inte ett sätt att slippa derivera.

Du kan invertera 1 - π/2 < 1/x < 1 + π/2, dvs ta 1 dividerat med sidorna i olikheterna. Detta är dock något man måste tänka igenom, eftersom man måste ta hänsyn till vad som händer om uttrycket på endera sidan av olikhetstecknet är negativt.

Har man två positiva uttryck så måste man vända på olikhetstecknet (tänk på att exempelvis 5 > 2 också innebär att 1/5 < 1/2). Har man ett negativt och ett positivt uttryck så vänds inte olikhetstecknet (tänk på att exempelvis -3 < 1 också innebär att -1/3 < 1/1). Har man två negativa uttryck så måste man vända på olikhetstecknet (tänk på att exempelvis -4 < -2 också innebär att -1/4 > -1/2).

I ditt fall så är 1 - π/2 negativt, 1 + π/2 och 1/x kan i princip vara antingen negativt eller positivt. För att reda ut detta helt och hållet måste man alltså ta hänsyn till båda möjligheterna i båda olikheterna.

1 - π/2 < 1/x och x negativt ger x < 1/[1 - π/2]
1 - π/2 < 1/x och x positivt ger x > 1/[1 - π/2]

Den andra olikheten är dock inte en "tillförlitlig" olikhet eftersom vi ju antagit att x > 0 medan 1/[1 - π/2] är negativt. Således är den motsvarande "riktiga" olikheten helt enkelt att x > 0

1/x < 1 + π/2 och x negativt ger x < 1/[1 + π/2]
1/x < 1 + π/2 och x positivt ger x > 1/[1 + π/2]

Här är på motsvarande sätt den första olikheten inte en "tillförlitlig" olikhet eftersom vi ju antagit att x < 0 medan 1/[1 + π/2] är positivt. Således är den motsvarande "riktiga" olikheten helt enkelt att x < 0.

Sätter vi ihop dessa så har vi alltså antingen att x > 1/[1 + π/2] (som kombineras med den mindre strikta olikheten x > 0), vilket om man förlänger med 2 blir x > 2/[2 + π], eller att x < 1/[1 - π/2] (som kombineras med den mindre strikta olikheten x < 0), vilket om man förlänger med 2 blir x < 2/[2 - π].