Integralen av ln x's integral. Dvs xlnx

Hej!

Integralen av ln x är xlnx -1.
Men hur räknar jag ut integralen av xlnx -1?

Väldigt tacksam för svar! Har försökt i två timmar nnu...

lnx har den primitiva funktionen x*lnx-x
Då borde väl x*lnx-x har den primitiva funktionen x^2/2*x*lnx-x-x^2/2 = lnx?

Va, ska inte kan det bli samma sak?

Om man räknar åt andra hållet så har du y=lnx, då är dy/dx lnx = 1/x och d2y/dx = lnx.

Räkna ut den på samma sätt integralen av ln(x), dvs med partiell integration. Alltså själva tricket är att derivera ned ln(x) till 1/x...

1. ∫ ln(x) dx = ∫ 1 · ln(x) dx = [ integrera upp 1 och derivera ned ln(x) ]
= [ x ln(x) ] - ∫ x · 1/x dx = [ x ln(x) - x ]
Svar: x ln(x) - x

2. ∫ ( x ln(x) - x ) dx ... gör det först för x ln(x)
∫ x · ln(x) dx = [ integrera upp x och derivera ned ln(x) ]
= [ (x^2/2) · ln(x) ] - ∫ (x^2/2) · 1/x dx
= [ (x^2/2) ln(x) - x^2/4 ]
Och därmed blir
∫ ( x ln(x) - x ) dx = [ (x^2/2) ln(x) - x^2/4 - x^2/2 ]
= [ (x^2/2) ln(x) - 3 x^2/4 ]
Svar: (x^2/2) ln(x) - 3 x^2/4

Detta är också kollat med min CAS-räknare.

Tack så hemskt mycket!!!

Var så god. Eller tackar själv. Gör bara sånt här om jag tycker det är kul själv på något sätt.

När jag skrivit klart det här mindes jag att det visst finns en allmän metod för att beräkna 2a integraler (eller vad de nu ska kallas för). Integreras en funktion f(x) två gånger blir det
∫ (x-y) f (y) dy ..... med övre gränsen som x.
Är hyfsat lätt se att det stämmer om man bara deriverar.

http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_integration_(calculus)#Relation_to_integr ation_by_parts

Vid tillämpning, som t ex med f(x)=ln(x), kan det då förstås hända att även denna sista integral måste partialintegreras.

Men metoden kan generaliseras till n:te ordningen, så här:
f^(-n)(x) = ∫ (x-y)^(n-1)/(n-1)! f(y) dy .... med övre gränsen för y = x..
där f^(-n)(x) förstås står för n:te antiderivatan.
Också ganska lätt att verifiera genom att bara derivera. Även här kan man behöva partialintegrera. Men notera vilken enorm förenkling detta är. Säg t ex att n=10. Då har man alltså förenklat en 10-dimensionell integral till en vanlig enkel!

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy_formula_for_repeated_integration

Notera dock att ingenting i princip hindrar denna multipla integralformel från att gälla även om n inte är ett heltal eller ens om n är negativ! (Fakulteter kan faktiskt definieras för reella x med den s k gammafunktionen.) Detta ger alltså även ett recept för fraktal integration och fraktal derivata..

http://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

Men NU räcker det med det roliga.