Quantum harmonic oscillator

Lite svengelska då kursen är på engelska men nåväl.

Jag har problem med att lösa denna uppgift: http://imgur.com/tmfgqhw

Detta är ett tal av flera där jag i de tidigare uppgifterna visat att [a,a-dagger]=1 med hjälp av x-hatt och p-hattrelationer samt att om psi(x) är egenfunktion av H så är a*psi och a-dagger*psi också det.

Så jag antar att jag ska använda dessa ladder-operatorerna men jag förstår inte riktigt hur jag ska tolka uppgiften.

Menar de a-dagger*(a*psi)? Jag provade att lösa ut det med definitionerna på a och a-dagger men fick bara en massa skräp och eftersom de inte blivit definierade i texten så misstänker jag att jag inte ska lösa ut dem på det sättet.

Tack för hjälp!

a†a är en operator och du ska visa att <a†a> ≥ 0.

Om H|ψ> = λ|ψ>, vad blir då a†a|ψ> ?

Vi har inte läst om bracket-notation än så </>/|-tecken vet jag lite om.

Det som förvirrar mig är ju att a†a inte är en operator, det är två. Jag har härlett att H(aψ) = (λ-ħω)aψ men då använde jag mig bara av matematiska samband, jag har ingen aning vad aψ är utöver definitionerna som jag länkade eller om du menar att jag ska använda kommutationsreglerna för att hitta något annat samband.

Jag förstår inte uppgiften helt enkelt , formuleringen är det kanske inget större fel på men vet inte vart jag ens ska börja.

Menar du att jag ska anta att <a†a> ≥ 0 och sedan bevisa att motsatsen inte kan stämma längre fram i beräkningarna eller så?


EDIT: Vänta nu här, menar du:
a†aψ=(λ/ħω+1/2)ψ ?

Produkten av två operatorer är en operator.


Nej, du ska börja med <a†a> och i beräkningarna komma fram till ≥ 0.
<a†a> = ∫ ψ* a†a ψ = ... ≥ 0
Vad vet du om hur H förhåller sig till a och a†, och hur egenvärdena till H ser ut?


Den formeln kanske kan vara användbar, men jag tror mer på andra formler.

Det jag vet om förhållandet mellan H och a är:
Hψ=ħω(a†a-1/2)ψ=λψ
Hψ=ħω(aa†+1/2)ψ=λψ

Det var så jag skrev om formeln i min edit.

Egenvärdena är konstanter(?) som måste ha ett värde som är större än den lägsta potentialen i V(x) för att funktionen ska ha verklig fysisk mening (annars får man en massa komplexa värden?).

Jag tittade på en youtube-film som försöker förklara https://www.youtube.com/watch?v=gRdCV9p8sAU#t=28m och jag förstår hur jag kan beräkna en lösning för exempelvis aψ, men jag ser inte hur det kan hjälpa mig med min uppgift.

Jag känner igen det du skriver "<a†a> = ∫ ψ* a†a ψ" men jag har använt en annorlunda notation så är inte riktigt 100% på vad du syftar på. Ska kolla igenom mina anteckningar under helgen när jag har tid men annars, var kan jag hitta mer information om dessa regler?

Problemet här är kanske inte att jag inte förstår uppgiften utan att jag är oviss om vilka regler och förhållanden jag kan använda mig av för att lösa den. Väldigt pedagogiskt att du försöker hjälpa mig komma fram till lösningen själv men det känns som att du försöker lära mig köra bil genom att sätta mig bakom ratten på en motorväg. Om du hade kunnat ge eller länka mig verktygen för att lösa uppgiften hade det varit toppen eftersom jag annars bara googlar efter samband jag knappt kan namnen på.

<a†a>= ∫ ψ* a†a ψ är alltså väntevärdet (expectation value) för operatorn a†a. Det som ledningen i uppgiften säger att du ska kolla på. Väntevärdet har ni nog pratat om . Så det gäller att visa att integralen ovan alltid ≥ 0. Vilket ju inte bör vara några problem med hjälp av sambanden mellan a†a och H du skriver upp i ditt inlägg. Har ni etablerat dom sambanden i kursen/boken?

Ni har möjligen inte visat att det finns ett uppräkneligt antal egentillstånd till H så att H ψ_n = (n+1/2) ħω ψ_n ?



Har du inte blandat ihop tecknen så att det ska vara plus på den första, minus på den andra?

Helt ärligt har jag missat 1 (en) föreläsning på hela kursen vilken under vi antagligen gick igenom stora delar utav detta. Vad jag kan hitta i mina anteckningar gällande expectation-values är sambandet (¤ är komplexkonjugat eftersom jag använder * för gånger):

Expectation value for the operator a where Aψ = aψ;
<A> = integral(ψ¤Aψdx) = integral([sum:n{c_nΦ_n(x)}]¤ A*sum:n{c_nΦ_n(x)}dx) = sum:n(a_n*|c_n|^2)

plus lite annat om orthonormal hermitian operators, expansion theorem osv. som jag inte tror är så relevant. Så det är lite den basen jag står på för att lösa uppgiften. Boken har jag men den verkar göra allt för att vara så opedagogisk som möjligt så föredrar att googla snarare än att bena ut grekiskan i den texten.



Det är ingen formel jag känner igen.

Gällande tecknen så var det något jag härledde själv i tidigare uppgifter. En annan notation jag sett är a_+ och a_- (som jag använde som referens när jag löste uppgiften där a_- går ner i stegen/minskar E), vilken av dessa menar du korresponderar till a† och a respektive?



Men om vi ska summera den här tråden lite för att se vart vi kommit så långt:


okej så <a†a> är expectation value för operatorprodukten a†a vars enda formler jag känner till är dessa och Hψ=ħω(a†a-1/2)ψ=λψ (som enligt manne borde vara +½)

Jag vet att inte vad "H|ψ>" betyder eftersom jag aldrig använt den notationen, men jag antar att det är ekvivalent med:
Hψ=λψ där H är Hamiltonian och λ är egenvärdet, i detta fall energin i systemet.

Vad jag tolkar svaret som är att
a†aψ=λ_a*ψ där λ_a är egenvärde till a†a och att jag söker att veta λ_a ≥ 0


Enligt vad jag kan hitta i mina anteckningar:

ψ(x) = sum:n(c_n*Φ_n(x))

Så jag provar att sätta in det i <a†a>

integral([sum:n{c_nΦ_n(x)}]¤ a†a*sum:n{c_nΦ_n(x)}dx)

med lite mattetrick kan man tydligen skriva om detta som

sum:n,m[c_n¤*c_m*integral(Φ_n¤a†aΦ_m)] vilken vi kan bryta ut egenvärdet på

sum:n,m[c_n¤*c_m*λ_am*integral(Φ_n¤Φ_m)]

enligt anteckningarna är nu Φ_n¤Φ_m = 0 om n är skilt från m och =1 om n=m vilket ger

sum:n[c_n¤c_n*λ_an]

c_n¤*c_n är |c_n|^2 vilket alltid är positivt. Så vad är λ_an? Ingen aning men jag antar att det är ≥ 0 ∀ λ_an? Hur vet jag detta?

Något fel i denna uträkning? Något som borde göras annorlunda eller tydligare? Är det fel angreppssätt helt och hållet? Om ni föreslår något annat så får ni gärna skriva ut det för detta är det enda sättet jag kan komma på att lösa uppgiften på med hjälp av vad jag redan vet/har i anteckningar.



Jag har ingen aning om hur så om du vill expandera på denna tanke får du mycket gärna göra det!


EDIT: Ursäkta om det är lite förvirrande med summor och integraler i textform men om det är oläsligt så kan jag göra om dem med formelfunktionen i word eller något och lägga upp bilder istället.