Fysik 1 uppgift

Hej, jag behöver lite hjälp med en fysikuppgift.

"Ingenting kan färdas fortare än ljuset, och ljuset tar sig till månen från jorden på 1 sekund. Märkligt nog kan man ändå ta sig dit på kortare tid. Hur snabbt måste man färdas för att nå månen på 0,9 sekunder?"

Har inget facit men antar att man ska använda antingen formeln för längdkontraktion eller tidsdilation. Får svaret till 130766968,3 m/s men det känns inte rätt. Någon som skulle kunna tänka sig hjälpa mig?

g = Lorenzfaktorn gamma, c = ljusets hastighet i vakuum
Propert avstånd till månen: 1sc
Avstånd när man färdas fort: 1sc/g
Tid det tar att färdas fort: 1sc/gv = 1sc * sqrt(1-v^2/c^2)/v = 0.9s
c * sqrt(1-v^2/c^2)/v = 0.9
c^2 * (1-v^2/c^2)/v^2 = 0.81
(c^2-v^2) = 0.81 v^2
c^2 = 1.81 v^2
v = c sqrt(1/1.81) = 0.74 c = 222 833 979 m/s

Tack så mycket! Det enda jag inte förstår är vilken formel du använt, vi har inte pratat så mycket om Lorenzfaktorn i skolan än så hade varit riktigt tacksam om du förklarat formeln lite grann.

Den enda relativistiska formel jag använt är
l = l0 / g
dvs avståndet till månen blir mindre när man färdas fort, och därför kan sträckan avklaras snabbare. Lorenzfaktorn är bara faktorn med vilken det händer.

1sc/gv = 1sc * sqrt(1-v^2/c^2)/v
Just denna delen, varför blir det 1 ljussekund gånger sqrt(1-v^2/c^2)/v? Och varför multiplicerar du g samt dividerar det sista med v? Känner mig väldigt trög just nu, förlåt.

1sc är per yggdrazils definition avståndet till månen då man är i vila relativt månen. 1sc / g är avståndet om man färdas mot månen. Avståndet krymper alltså med lorentzfaktorn.
Varför tror du att det multipliceras med g? g = 1 / sqrt(1-v^2/c^2). x/g är alltså x*sqrt(1-v^2/c^2).
Dividerar man ett avstånd (till exempel 1sc / g) med avstånd per tid (till exempel hastigheten v) så får man en tid.

Vi har sträcka, tid och hastighet. Vi har två objekt som färdas (ljuset och du själv), och vi har tre sätt att mäta dessa (från jorden, från raketen, från ljuset). Att mäta från ljusets perspektiv är oanvändbart, och brukar mest leda till massor av oändligheter.

Först måste vi se till att vi vet vilka av dessa vi pratar om. Jag kommer att använda noteringen som sådan: a_b_c innebär att storheten a (sträcka s, tid t eller hastighet v) för objekt b (ljus l, APerson a) från referensram c (jorden j, raketen r).

Vilka har vi då uppmätta eller vet?
t_l_j = 1 s
v_l_j = c
s_l_j = t_l_v * v_l_v = 1s * c
Dessa kommer från att vi mätte ljuset (men vi stod på jorden när vi mätte).

Nu introducerar vi proper distance. Proper distance, s_p är avståndet som mätt från den ram där sträckan står still, dvs s_p = s_l_j = s_a_j ( = s_x_j, det är ju samma sträcka som färdas oavsett om det är ljuset, du eller något annat som färdas). Längdkontraktionen lyder att för ett objekt x i en ram y gäller s_x_y = s_p / g(v_x_p), dvs om man är i ramen r så upplever man sträckan som mindre än s_p med en faktor 1/g(v).

Genom detta resonemang får vi:
s_a_r = s_p / g(v_a_p) = s_l_j / g(v_a_p) = 1s c / g(v_a_p)
och vi vet att
t_a_r = 0.9 s (det står inte specifikt i texten att det är t_a_r som är 0.9 och inte t_a_j, men om t_a_j skulle vara mindre än 1s så skulle vi färdas snabbare än ljuset)
t_a_r = s_a_r / v_a_p
0.9s = 1s c / (g(v_a_p) * v_a_p)
g = 1/sqrt(1 - v_a_p^2/c^2) (per definition, om det var det du undrade)
0.9s = 1s c sqrt(1 - v_a_p^2/c^2)/ v_a_p
0.9 = sqrt(c^2 - v_a_p^2)/ v_a_p
0.81 v_a_p^2 = c^2 - v_a_p^2
1.81 v_a_p^2 = c^2
v_a_p = sqrt(1/1.81) c

Aha okej, tror jag hänger med nu. En sista fråga, denna sista delen c^2 = 1.81 v^2
Borde inte v bli v= sqrt(c²/1.81) ?

Jovisst, men
v= sqrt(c²/1.81) = c sqrt(1/1.81)

Nu förstår jag inte riktigt, hur får du det till det där? Är det samma sak eller?

EDIT: Slår det på räknaren men får det till 222 988 243 m/s.

Det ska vara samma sak. Testa att slå båda svaren. Jag misstänker att skillnaden är mer praktisk än så, jag använder exempelvis googles värde på c, du kanske använder ett annat.

Jo men det förklarar nog saken. Tack för all hjälp!