Svenska elever kan inte räkna ut detta tal...

Jaha nej såklart han inte har rätt.

Jag tror mig inte sitta på facit. Gör du?

Bra poäng där. Euklides geometri 'verkade naturlig', och man tog för givet att geometrin handlade om ett plant rum. Sedan kunde man ändra bland axiomen och göra geometrier för krökta rum.

Det är ofta så i axiomatiska system. Man kan välja vad som ska vara axiom och vad som ska kunna härledas. Man kan 'leka' med axiomen och få nya intressanta system.

För praktiska ändamål, som när egypterna byggde pyramiderna, var geometri om ett icke krökt rum dock väldigt bra att ha. Och hade inte vår mänskliga tillvaro här på jorden skett i ett väldigt krökt rum så hade vi haft ett rent helvete! Så nog är det så att den klassiska geometrin var en slags fysik och inte bara abstrakt matematik. Den handlade om världen som den tedde sig för människorna.

Tack!

Å ja precis, att leka med axiomen kan göra att man kommer fram till andra nya intressanta saker. T.ex. behövdes ju just denna lek för att utveckla generella relativitetsteorin och det sjuka är ju att det sedan ändå har med verkligheten att göra, trots allt. Fantastiskt egentligen

Ja precis, en slags primitiv form av fysik. Problemet var väl att synen på kunskap på den tiden var att empiri är falsk och flyktig. Endast det vi människor kan tänka ut, är sann kunskap. Så då blir ju matematik perfekt, eftersom den är skild från empiri.

Men allt detta har ju i sin tur lett fram till den naturvetenskap vi har idag och vår syn på empiri som facit för hur naturen är, snarare än vår tanke. Helt enkelt av den enkla anledning att vi människor tänker fel ibland, eller ja, nästan hela tiden.

Peanos axiom är helt klart kopplade till verkligheten, på just de sätt jag beskrev. Det vill säga all grundläggande aritmetik kan förklaras med apelsiner på ett bord. Sedan finns andra, i andra delar av matematiken, som inte har tydliga kopplingar till verkligheten. Det är oftast för att man antar dom för att man vet att de kommer att leda till de teorem man vill ha. Om systemet fortfarande är motsägelsefritt är ju allt ok.

Jag håller med om att kalla det ena rätt och det andra fel är godtyckligt. Men ovedersägligen baseras grundläggande matematik (dvs. addition och så vidare) på verkligheten.

Jovisst, men märk väl att jag sa verkar naturliga. På Euklides tid (och även nu om man utgår från det vi ser framför oss) verkade det helt självklart att parallella linjer på ett plan inte skär varann. Däremot höll kanske Euklides själv inte med om den självklarheten eftersom han insisterade på att härleda så många satser som möjligt utan att använda parallellaxiomet.

EDIT: ah jag missade andra delen av din post. När man väl är ok med att tänka sig rymden så förvriden som den blir redan i den speciella relativitetsteorin så blir det naturligt att tänka sig t.ex. att parallella linjer på ett plan skulle kunna skära varann. Einstein själv skrev en liten bok som lämpligt nog heter Relativity: The Special and the General Theory, som skippar det mesta av matematiken men som inriktar sig på hur han gjorde kopplingar med hur han föreställde sig verkligheten. Så även där finns en verklighetskoppling för axiomet.

Absolut är det så.

Jag tror de flesta här är överens om att man inte kan säga t ex att det är så att 3.14=3.13999...men att vi har bestämt att det är så med den matematik vi använder. Men av nån anledning verkar inte bengtzz hålla med.

Den axiomatiska metoden är relativt ny inom matematiken. Visst kan man se Euklides Elementen som en axiomatisk framställning, men jämfört med nutida standard så är den inte alls rigorös och bevis genomförs som exempel, dvs med specifika data.
Den axiomatiska metoden introduceras i samband med att analysen gjordes mer vattentät i slutet av 1800-talet. Under börjar av nittonhundratalet nåddes ett stadium där t. ex. axiom och härledningsregler var specificerade och mängdlära och aritmetik kunde ges en axiomatisk formulering i första ordningens predikatlogik. Baksidan av detta var att det visade sig som Brouwer säger vara möjligt att diagonalisera sig ut ur dessa formella system. Så om vi säger, alright det här är "spelet" här är reglerna och nu kan ni sätta igång, så visar det sig att det inte går att nå alla önskvärda positioner. Det är i sig ett argument mot att matematiken till sitt väsen skulle vara beroende av axiomatik.
En annan konsekvens är att man hamnar i ett beroende av att axiomen och härledninsreglerna inte leder till motsägelser och att man som tror då att "Om något inte går ihop så måste vi avbryta hela matematiken". Det är lite svårt att förstå hur en motsägelse inom någon axiomatisering av säg "kvadratiska operader" skulle innebära att Dimitri Kartoffel måste avbryta sitt arbeta med KdV-ekvationen.

Axiomatik är på sätt och vis post festum, när en matematikgren har nått en viss mognad dyker det upp en eller annan axiomatisering. Till skillnad från vad en del tycks tro så sitter inte matematiker och "hittar på" axiom och undersöker sedan vilka konsekvenser de har. Gauss utgick inte från några axiom när han bevisade sina satser inom talteorin, lika lite som Kontsevich gör det idag. Axiomen kommer sig av att man vet vad man vill beskriva, teorin försigår axiomatiseringen. Visst kan vi se en delvis axiomatisk framställning av klassificeringen av ändligtdimensionella Liealgebror över C idag, man axiomatiserar rotsystemet, (något som säker fysikerna här har sett ) men det var verkligen inte så det gick till när Killing och Cartan undersökte Liealgebrorna och kunde avtäcka dess struktur.
Det finns tror jag, hos många en okunskap om hur ett bevis i första ordningens predikatlogik ser ut. Man vet förstås i princip vad det är fråga om, man har oändligt många axiom (vanligtvis ex. i PA eller XFC), man har härledningsregler och så "sätter man igång". Men hur otroligt komplext det hela blir för enbart ett enkelt resultat är det inte många som vet. De allra flesta påståenden om att "detta är bevisbart i ZFC" bygger helt på den potentiella möjligheten som är extrapolerad från vad man vet är begreppsmässigt möjligt att realisera i ZFC, inte på några faktiskt utförda bevis.
Det är också den roll axiomatisering vanligen har i matematiken, bevis i en elementär axiomatisk teori har status av ideala objekt som man kan argumentera för att de existerar och därmed rättfärdiga resultatet. Det är förstås inte oviktigt men det är långt ifrån ett vittnesbörd om att matematik är
axiomatisk.

En annan konsekvens är en slags nihilism, alla axiom är lika goda kålsupare och det enda som krävs är konsistens, något som man för de teorier som är intressanta inte kan visa annat än med hjälp av ytterligare en teori. Ett exempel är det konsistensbevis för aritmetiken som Gentzen gav inom ett annat system, varken starkare eller svagare än första ordningens PA. Men regressen är uppbar och det hela blir en futil jakt efter en omöjlig säkerhet eller en uppgivenhet parad med en beredskap att avbryta hela "spelet". Man tycker sig ha följande situation: "Vi har bara axiomen att utgå från, dessa är godtyckliga, vi vet inte om det kommer att uppträda en motsägelse, men vi kör på, uppstår en motsägelse så avbryter vi alltihopa". Det är en, i min mening, helt verklighetsfrämmande bild av hur matematik i praktiken utövas.

Mycket bra och genomtänkt inlägg.

Fast nu tycker jag du undviker min fråga. Kan de olika parallellaxiomen verkligen finnas samtidigt? Det verkar ju naturligt att de olika axiomen är paradoxala eller?

En till sida av myntet: Om det nu är så att de skall verka naturliga så kan man fråga sig, naturliga för vem? Vem anser vad som är naturligt? Finns det verkligen en regel med avseende på naturlighet för hur axiom väljs? Kan man inte välja axiom som verkar fullkomligt icke naturliga?

Oj, hur vet du vad jag tycker om 3.14? Mycket spännande att du bestämmer vad jag tycker och vad jag håller med om eller inte. Låt mig tala för mig själv istället så får du tala för dig själv.

Ja vi har bestämt det, för vi har ju skapat det. Precis som vi bestämde och skapade lagboken.

Åldern är irrelevant för diskussionen.

Nej bevis genomfördes från andra bevis eller från de axiom som fanns. Ja, Euklides är en axiomatisk framställning, och precis som alla andra verk är inget verk perfekt.

Jag skulle säga att Euklides introducerade den. Dessutom var analysen långt ifrån vattentät 1800.

Min uppfattning är likadan.

Ser det inte som en baksida, utan som en fördel.

Nej det är inget argument mot att matematik beror av axiomatik. Den säger ingenting om argumentativt värde, precis som att antalet människor som tycker någonting inte gör det mer sant.

Ja vi accepterar inte axiomatiska system som leder till paradoxer. Varför tror du det?

Jaha nej det har ingen i hela universum någonsin påstått. Varför du tror att två olika axiomatiska system skulle bero på varandra har jag ingen aning om, eller varför du tror att någon i denna debatt har uttryckt sig om det.

Så nej det är ju självklart att system uppbyggt på olika axiom inte beror på varandra. Varför du tar upp detta som exempel är för mig förunderligt. Har ingen aning faktiskt. Men likväl håller jag med dig, finner vi en motsägelse av kvadratiska operatorer behöver Dimitri Kartoffel inte avbryta sitt arbete med KdV-ekvationen. Ingen tror eller har påstått detta.

Precis, jag tror ingen någonsin har påstått att axiomen nödvändigtvis kommer först. I alla fall är vi inte medvetna om vilka axiom som används och vilka antaganden som görs. Hur det än är så vet jag ingen, ingen i hela världen faktiskt, som påstår att det är så. Konstigt att du tar upp det då eftersom ingen har argumenterat för eller emot detta.

Ja det går inte att bevisa att den är det. Jag förstår heller inte varför vi snöar oss in på axiom. Är det inte matematiken som upptäckt eller skapelse vi diskuterar? Förstår inte varför du skriver ett så stort inlägg om axiom.

Ingen har påstått hur matematik utövas, så jag håller med dig. Men i denna tråd har ingen människa uttryckt sig om hur matematik utövas, bör utövas eller skulle kunna utövas.

Jag å andra sidan har däremot uttryckt mig i termer av det du kallar nihilism, att alla axiom är lika goda kålsupare och det enda som krävs är konsistens. Däremot håller jag inte med om Gentzens konsistensbevis, ser det som helt irrelevant för diskussionen i fråga. Huruvida systemet är säkert eller ej vet jag inte och bryr mig inte om heller, för det har aldrig varit relevant för diskussionen.

Däremot menar jag fortfarande att. Låt säga att vi skapar en viss matematik med eller utan ett visst axiomatiskt system (notera med eller utan). Finner vi motsägelser i detta system måste vi förkasta det. Eller håller du inte med om det?

Denna fråga vill jag ha extra stort svar på. Håller du med om att motsägelser bör tillåtas? För det är egentligen det jag diskuterar. Låt säga att vi finner motsägelser i den sannolikhetslära som bygger på kolmogorovs axiom. Antingen måste axiom adderas, förändras eller förkastas för att skapa konsistens. Problemet är ju att vi i förväg inte alltid kan upptäcka motsägelser. Det var egentligen detta jag debatterade för. Så det enda som egentligen är relevant för det jag skrev, är de sista fyra styckerna i detta inlägg.

Det var ju trots allt du som svarade på det inlägget jag skrev och kritiserade det. Ser fram emot fler svar av dig. Debatten är intressant och lärorik.

Vänliga hälsningar,
BengtZz

Ändå säger du att det är så.