Citat:
Ursprungligen postat av
Benoni
hej, hur fungerar "Maclaurin serien"?
Om vi har t.ex. funktionen f(x)=e^x och polynomet som ska uppskatta e^x får vara p(x).
Så enligt Maclaurin serien ska f(0)=p(0), f'(0)=p'(0), f''(0)=p''(0)...
Så e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+x^5/5!... Varför blir e^x funktionen ungefär lika med den vi skapat, det är ju bara vid x=0 som derivatorna, lutningen, blir lika med varandra varför blir det även rätt på flera ställen över polynomet. Om vi tar en punkt bredvid 0 t.ex. 1 så blir e^x≈2,718.. med det nya polynomet.
Jag vill ha ett svar på varför det fungerar med fler funktioner, inte bara om det finns ett specifikt svar till e^x. Gärna utav någon som har förstått det / förstår det.
Låt f vara en funktion som är k gånger deriverbar i en punkt [; x_0 ;]. f har Taylor-polynom P_0, P_1, ..., P_k av grad högst 0, 1, ..., k kring x. Den enda likhet vi kan garantera är [; f(x_0) = P_i(x_0), 0 \le i \le k ;]. Att [; f(x) = P_n(x) ;] för alla x i en omgivning gäller om och endast om f på den omgivningen är ett polynom av grad högst n.
Om f är oändligt många gånger deriverbar kan vi definiera en Taylor-serie, [; T(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n ;]. Din fråga är: varför är T(x) = f(x)? Det är en bra fråga, men först måste man fråga sig om det är så att T(x) = f(x). För det första behöver T(x) inte konvergera för alla x. För det andra behöver inte T(x) konvergera mot f(x), även om den konvergerar. Ta till exempel en funktion som ser ut
så här. Den är deriverbar oändligt många gånger i [;x_0 = -1;] och alla derivator har värdet 0 där. Taylor-serien för denna funktion är alltså identiskt 0, men funktionen är inte 0 mellan -1 och 1. Det finns alltså inget bra svar på frågan varför en funktions Taylor-serie konvergerar till funktionen, eftersom det inte alltid är sant.
Däremot kan man kolla på
resttermen för Taylor-
polynomen för att förstå varför man kan approximera funktioner med polynom.
Wikipedia. Det är nog lättast att förstå det för polynomet av grad 1, alltså en linje. Så säg att vi är intresserade av f(x) i [; (x_0 - \varepsilon, x_0+\varepsilon) ;] och tar [; P_1(x) = f(a) + (x-a)f'(a) ;]. Då har vi rätt funktionsvärde och derivata i a. Hur mycket fel kan vi ha i intervallet? Vi har inte tagit hänsyn till att derivatan ändras. Vi kan inte ha mer fel än att [; f'(x) = (x-a)M ;] där [; M = \max_{y \in (x_0 - \varepsilon, x_0+\varepsilon)} f''(y) ;]. Integrerar vi det får vi att felet är som mest [; \frac{(x-a)^2}{2} M ;]. Om vi väljer mindre [;\varepsilon ;] kan både M och (x-a) bara minska, så med tillräckligt små steg kan man få felet så litet som man vill.
Funktioner som är lika med sin Taylor-serie kallas analytiska. Jag kan ge ett bevis för att e^x är analytisk.
Sats e^x är analytisk.
Bevis e^x har serien [; E(x) =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n ;]. Kvottestet ger att denna serie konvergerar för alla [; x \in \mathbb{R} ;]. Det är också så att serien konvergerar likformigt på varje kompakt delmängd av [;\mathbb{R} ;]. (Detta är en teknisk detalj och det gör inget om du inte förstår den, men det är en nödvändigt förutsättning för nästa steg.) Då får vi derivera termvis:
[;\frac{d}{dx} E(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{d}{dx} \frac{1}{n!} x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} x^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n = E(x) ;]. Vi har alltså att E(x) är en lösning till differentialekvationen y' = y, y(0) = 1. Men e^x är också en lösning till den ekvationen.
En känd sats säger att ekvationens lösning är entydig, så vi måste ha E(x) = e^x, vilket skulle visas.
