Cantor och de reella talen.

Jag förstår inte, men det är inget ovanligt

Cantor ger ett vis att för varje lista hitta ett tal som inte är på listan. Det kan vara vilken lista av tal som helst, du behöver inte anta att listan innehåller alla tal. Att det finns en sådan funktion visar att alla funktioner från N till R missar något, alltså finns det inga bijektioner.

Konstruktionen tycks ogiltig för de listor som säger sig innehålla "alla" tal på vissa sätt. Se #275 och #311.

Om jag säger "jag gör en lista L med alla decimaltal från [0,1]" och sedan skapar ett ζ=0.a1a2a3... som uppfyller 0≤ζ≤1 så är det på listan (per vårt antagande som gäller som premiss), oavsett hur jag skapar talet. Den konstruktionen måste det väl ändå vara nåt fel på? Något som löses genom att bara tillåta det som jag skrev i #311. Det är en ny tolkning tror jag, men jag tycker den är mindre motsägelsefull. Den förlitar sig inte på att man konstruerar en lista som inte går att konstruera.

Du kommer nog inte undan Cantor riktigt så enkelt.. Om vi antar att du har en lista med alla tal mellan 0 och 1, så har listan en viss ordning, dvs. vi har en funktion f:N --> [0,1]. Vi kan använda denna funktion för att definiera diagonaltalet, som då uppenbart från sin definition inte finns med i funktionens målmängd. Detta strider mot antagandet att listan innehåller alla tal. Att påstå att godtyckligt tal ζ måste finnas med i listan pga. att vi antog det är inte en godtagbar invändning, utan bara en omskrivning av det (bevisat felaktiga) antagandet. Det är som att kritisera motsägelsebevis av hur roten ur 2 är irrationellt genom att säga "Men vi vet ju att sqrt(2)=a/b, vi antog ju det, så därför är talet rationellt!".

Så ser jag det oxå, jag har alltid sett Cantors diagonalförfarande som ett klockrent motsägelsebevis, om man inte antar att alla talen finns med, vad är då vitsen med diagonaliseringen?!?

Det finns en skillnad. När vi skapar vårt tal så skapar vi det beroende på listan som finns per antagande, sedan upphör den efter en ytterligare konstruktion. Då kan man väl hävda att konstruktionen upphör också. Och eftersom det inte är nåt som sker steg för steg i själva verket så står konstruktionen i kontrast till antagandet; båda kan inte göras. Jag tror det är det sigge varit inne på.

I beviset du talar om för "sqrt(2) irrationellt" gör man ett antagande och sedan ser man vad som följer av antagandet. Det krävs ingen konstruktion som beror på antagandet. Så även om jag har fel så är din analogi felaktig.

I vilket fall som helst lider inte det jag talar om i #311 av samma "problem," om det nu finns något. Har du ingen kommentar angående #275? (länk finns i mitt tidigare inlägg, #315)

Det är enkelt. Vi säger att det finns en godtycklig lista L som innehåller reella tal från [0,1] där varje tal är mappat till något n från N. Sen visar vi med Cantors diagonaltal att en sådan godtycklig lista - som är en helt tillåten konstruktion - saknar tal från [0,1].

Om vi vill vara ännu mer säkra på att |[0,1]| > |L| så kan vi undersöka en till sak. Vi tar någon av våra godtyckliga listor L och tittar på alla permutationer man kan göra av L, säg S(L) (symmetrigrupp kallas det). Varje permutation ger ett nytt Cantortal. Sedan har vi |S(L)|>|L| (givet |S(L)|>3) och varje element i S(L) står för ett Cantortal, så mängden Cantortal från en enda godtycklig lista och dess permutationer är överuppräkneligt.

Det är vad jag kallar ett motsägelsebevis.

Vad talar du om? Cantors diagonalargument i sitt vanliga utförande? Kan du visa var felet är i #275? Om du säger att det är för att jag gör listan under antagandet att vi har med alla tal från [0,1] så är vi av samma åsikt. Lyckligtvis har jag ju nyss visat att vi inte behöver det starka antagandet, då det finns ett mindre ambitiöst antagande som visar samma sak utan att bero på motsägelsefulla listor (som potentiellt kan vara motsägelsefulla av något skäl vi inte ser). Jag antar att det jag gjort inte är ett motsägelsebevis alls, vilket borde övertala t.ex. sigge om dess validitet (om inte andra problem finns med det). Jag tycker inte man ska förbjuda motsägelsebevis eller dylikt förstås.

http://www.hh.se/download/18.70cf2e49129168da0158000136837/dima.pdf
På slutet visas det som jag menar.

Jo, jag tror också det är typ så sigge resonerar. Men resonemanget är inte korrekt, och tyder på att man inte förstått logiken bakom motsägelsebevis, för det vi gör funkar på precis samma sätt som alla andra motsägelsebevis. Vi gör ett antagande, härleder något som följer från antagandet (i det här fallet existensen av Kantors diagonaltal, via hans konstruktion), och inser att slutsatsen och antagandet är i strid mot varandra. Detta bevisar att antagandet är falskt.
Vad exakt menar du är skillnaden mellan att se vad som följer från antagandet, och att göra en konstruktion baserad på antagandet? Om jag gör en konstruktion som använder antagandet, följer ju existensen av det jag konstruerar från antagandet, så det är precis samma sak: vi ser vad antagandet leder till. Skillnaden är nog mest semantisk, eller kanske lite hur direkt man ser motsägelsen. I båda fallen är det dock så att en följd av antagandet motsäger antagandet, så jag tycker inte min analogi är felaktig.

Jag ser inte hur det är annorlunda, och tror inte riktigt jag förstår din poäng där.

Ok jag börjar bli lite full, och jag fattar inte alls vad matteyas säger.

Men vad är det med det här insisterande på motsägelse?

Hur visar man konstruktivt att en mängd funktioner inte innehåller några surjektioner? Jo för varje funktion hittar man något som inte ligger i bilden. Precis det som Cantor gör.

SigurdVs problem är antingen att han lider av någon typ av hjärnskada/psykologiska problem eller bara är ett troll.

Jo jag kan hålla med om det faktiskt; en konstruktion är inte införandet av nåt direkt, trots det missvisande namnet. ^^ Talet finns redan i och med antagandet om listan. Då har jag nog inga invändningar mot Cantors diagonalargument även under antagandet att listan innehåller alla reella tal från [0,1].

Det enda jag kan tänka mig är att om listan i sig är en motsägelse, hur kan vi vara säkra på att den uppstår på grund av mappningen mot N och inte något annat, typ att man gör en lista med alla reella tal?

Vad jag har förstått så kan man se en del av tallinjen som en lista innehållandes alla reella tal, med en ordning inbakad och allt. Antag att det är felaktigt, samt att felet delar sin karaktär med listan i Cantors diagonalargument (det vill säga, vi behöver inte anta att elementen i listan mappar mot N och motsägelsen uppstår ändå)?

Hur som helst; vad är fel med #275? Cantor visar att vi kan göra ett tal som skiljer sig mot varje tal i den konstruerade listan. Jag visar (eller antar mig visa) att vi kan hitta en oändlig mängd tal i en delmängd som finns i listan som inte skiljer sig från Cantors tal för vilket antal decimaler vi än har valt i talet. När vi låter antalet undersökta decimaler gå mot oändligheten; vilket av bevisen är "starkare"?

Hmm? Menar du att det inte är någon skillnad på att:
1) Visa att en godtycklig lista som innehåller reella tal från [0,1] där varje element är mappat till något n i N (en konstruktion som inte är en motsägelse) inte kan innehålla alla reella tal från [0,1].
2) Visa att en godtycklig lista innehållandes alla reella tal från [0,1] med tillhörande mappning till n i N inte existerar.