Beräkna area mellan två vektorer

Hej!

Jag har en uppgift där punkterna A=(1,2) B=(4,1) och C=(3,5) är givna. Jag ska bestämma arean på triangeln som bildas mellan dessa. Skapar man två vektorer blir dessa:
AC = (2,3)
AB = (3,-1)

Sen vill jag räkna ut deras kryssprodukt (eller determinant, är det samma sak?). Om jag ställer upp vektorerna i en matris så kan jag beräkna dess determinant och delar jag den på två så blir svaret arean.

Men, jag vill skriva matrisen så här:

2 3
3 -1

problemet är att då blir ju svaret fel, determinanten blir då -2-9=-7. Korrekt vore att ställa upp matrisen så här:

3 -1
2 3

Alltså med raderna tvärs om. Då blir determinanten 11, vilket är rätt. Hur vet jag på vilket sätt jag ska ställa upp vektorerna i matrisen för att det ska bli rätt? Vilken regel är det jag missar här?

-2-9 = -11 och beloppet av detta blir en area. Kryssprodukt och determinant är inte samma sak; kryssprodukt är enbart definierat för 3-dimensionella vektorer.

Ehm, -2-9 blir -11. Eftersom det är areor kan vi strunta i minustecknet och svaret blir rätt.

-2-9=-11, du måste ändå ta absolutbelop för att formeln ska gälla. Du slarvade bara med beräkningen.

Determinant tar man av en matris, kryssprodukt gör man mellan två vektorer så de är olika. Det finns en formel för kryssprodukten i termer av en deteminant.

Man kan du dock göra en fuling och lägga till en extra komponent:

(2 3 0) × (3 -1 0) = ...

Haha! Det är alltid dessa minustecken... Tackar för hjälpen!

Jag har faktiskt själv lite svårt att förstå skillnaden mellan determinant och kryssprodukt. Kryssprodukten för två vektor beräknas väl på samma sätt som en determinant, i alla fall i själva uppställningen?

Kryssprodukten kan uttryckas med hjälp av en determinant. Men de är olika saker, indatat för en determinant är en matris och indatan för en kryssprodukt är två vektorer.

Men en matris kan väl samtidigt utgörs av kolonvektorer?

Ja det kan man säga.

ändring: men det kanske är trokigt att säga det då det leder till missförstånd Man kan säga att alla matriser har kolonvektorer och att givet ett gäng vektorer kan man skapa en matris.

Haha ja just, den blir ju (0 0 -11). Vilket för mig till:
Detta, och utdatan för en determinant är ett tal medan utdatan för en kryssprodukt är en vektor.

Man brukar ju lägga basvektorerna i översta raden, så visst ger determinanten en vektor: