Andragradsekvationer - varför är allt så efterblivet?

En andragradsekvation behöver inte ha några nollställen alls.


Det där är pq-formeln. Ser kanske lite annorlunda ut men det är exakt samma sak.

Den behöver inte ha några reella nollställen. Komplexa finns alltid.

Vad du letar efter är ju var andragradskurvan skär X-axeln, och vad PQ-formeln gör (och kvadratkomplettering) är att den direkt säger att symmetrilinjen är -p/2. ALLTID.

Högsta/lägsta punkt i en andragradskurva finns alltid i x = -p/2, och då även linjen som ligger mitt emellan rötterna. Sen är frågan hur långt ifrån symmetrilinjen dessa finns, och det härleds ifrån att de gör en vanlig kvadratkomplettering av y=px+q. Så de två olika delarna av pq-formeln är dels att man pekar ut var på x-axeln symmetrilinjen måste hamna och dels ett avstånd åt båda håll ifrån den som rötterna befinner sig på.


En bra träning är att som någon sa, rita lite grafer. Kolla hur grafen ser ut om du har p=1, sen hur den ser ut om du har p=2, åt vilket håll den flyttar sig osv. Samma sak för q, detta ger bra förutsättningar för att veta var dina rötter borde hamna någonstans osv.

Du borde köra kvadratkomplettering btw, jag tyckte pq-formeln var jävligt jobbig iom att den inte gav någon förståelse för algebran, utan mer bara "stoppa in lite värden och få ut svaret".

En annan grej som ger ännu finare förståelse, om du klarar av det, är att faktorisera alla andragradskurvor direkt.

På denna formen isf: (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x +a*b
Om du då får x^2 -x -2 = 0 så kan du faktorisera den till (x-2)(x+1)
Det hänger ihop som jag skrev där ovaför, den ena konstanten adderad till den andra ska bli p, konstanerna gånger varandra ska bli q. Så om Q är negativ så vet du att den ena måste vara negativ osv, och så jobbar du därifrån.

När du väl har andragradsfunktionen på formen (x+3)(x-2)=0 t.ex. så kan du se att rötterna måste vara -3 och 2, dvs de tal på X som gör den ena parentesen till noll.

Jag bara dundrar in allt jag kan tänka mig ökar din förståelse för vad en andragradare är osv, hoppas det hjälper.

Precis, dock behöver man inte kunna detta i matte C.

Som några redan har tipsat om så tror jag det hjälper om du ritar upp en andragradskurva. När du löser en andragradsekvation så vill du i regel hitta när den skär i x-axeln (i matte C)

Varför ligger lösningen bara där kurvan skär i x-axeln?
När man tittar på funktionen y= ax^2 + bx + c vill man ta reda på roten till x i denna funktion. Man använder detta för att hitta roten till de flesta tal. T.ex. talet 4. En funktion som ser ut på följande sätt y=x^2 - 4 kommer förskjuta funktionskurvan neråt 4 steg i y-led. Notera att y beror på x och eftersom y är ensamt (dvs det finns inget 4y-2=x^2 + 5, om det inte är ensamt måste man få y ensamt för att det ska lösa sig) motsvarar det funktionens värde i en punkt. För att hitta roten till ett tal ska man veta vad x*x blir, sedan räkna baklänges för att få fram svaret.

Låt oss säga att x*x = 4, för att ta reda på vilket tal x som uppfyller detta drar man ju roten ur 4 för att få svaret. Detta visste du antagligen redan men detta måste förstås för att man ska kunna gå vidare. Anledningen till att man tittar vart kurvan skär i y-axeln är för att om man skriver funktionen på allmän form får man x*x - 4 = 0 jämför med ax^2 + bx + c = y.
I detta fallet är y = 0, a = 6, c= -4, b = 0.

När y = 0 i ett koordinatsystem som kurvan ritats i så ligger ju talet på x-axeln. Alltså finner man roten till talet x där kurvan skär i x-axeln.

Om man vill lösa en mer komplicerad andragradare letar man egentligen också efter roten till talet x.

Alltså letar du efter roten till talet x när du löser ekvationerna.

Du har rätt att x=0 inte alltid fungerar, det bevisas väl lite halvhjärtat i mitt exempel ovan. Hur man hittar roten till ett tal i en andragradsfunktion som aldrig skär i x-axeln är en annan sak. Det handlar om komplexa tal och du kommer återvända till dessa i matte E om jag inte minns fel. Komplexa tal byggs av både reella tal och imaginära tal. Altså riktiga tal och fantasital. (bildligt talat)
Det enda du behöver veta i kurs C är att andragradare som skär i x-axeln går att lösa, de andra går inte att lösa då du kommer (med hjälp av vald metod ex. pq-formeln) få fram att roten är sqrt(-a) altså roten ur ett negativt tal.

Ska se till att skriva mer när jag har mer tid, om det behövs.

Har man ett sinnelag som lär sig genom att leta efter inkonsistenser så säger det sig själv att gymnasiematte kan bli jävligt tufft, då förklaringarna bäst beskrivs som logiska schweizerostar.

"Det där kommer du förstå i MaD "
"Ja, det där får du syssla med lite i MaE vettu "
"Haha, ja det där kommer ni allt få tampas med på HÖGSKOLAN serru! "
"Utmärkt frågeställning... till din doktorsavhandling Håll käften nu och håll dig till ämnet."

Nej, du ska parkera din feta röv vid tavlan och förklara precis vad jag vill veta, annars kommer du bli nödslaktad och utslängd på åkern där ditt ruttnande lik eventuellt kan bidra som gödsel inför sommaren.

En hel del schysta svar i tråden, men fortfarande en del huvudvärk. Jag klarar ju mina uppgifter, men jag förstår inte på samma sätt som jag förstår biologi till exempel, där allt är fullständigt klart och jag kan vända och vrida på saker efter mitt eget tycke. Men det kanske kommer

Det står en savant - Savankte Per - vid x = 0 som bilden nedan visar.

http://i41.tinypic.com/17qqvc.jpg

Tänk dig att en boll kommer farande från vänster i ovanstående bild som den prickade linjen antyder, bollen kommer sedan studsa vidare. Per lyckas beskriva bollens framtida bana exakt med hjälp av andragradspolynomet som är i hans tankebubbla. Den heldragna grafen beskriver denna bana. Per noterar att bollen slår ned 5 meter bakom honom och får även med detta i sin ekvation. Han ser förstås inte hela grafen, men när han har andragradspolynomet så kan han förstås beskriva precis var bollen kommer slå ned nästa gång.

Det är t.ex. det här du gör då du löser y = 0, eftersom y i det här fallet beskriver bollens höjd från marken sett. När bollen befinner sig på y=0 så är alltså bollen 0 meter över marken. Det här är ett relativt oseriöst exempel på när man kan tänkas vilja lösa en andragradare; bara för att få lite inblick i vad det hela är bra till - det dyker upp betydligt vettigare tillämpningar i din vardag förhoppningsvis.

PQ-formeln är en generalisering av kvadratkomplettering. Det här innebär helt enkelt att det är en genväg för att utföra kvadratkomplettering på vilken andragradare som helst med några enkla steg. Kvadratkomplettering är i sin tur en metod för att förenkla andragradsproblemet. Det här har redan beskrivits ganska bra av andra anser jag. Otrolig nämner även en annan metod. Faktorisera den konstanta termen (40 i vårt fall) och se vilka faktorer - med korrekta tecken - vars summa blir koefficienten framför x (3 i vårt fall). 5*8 = 40. -5+8 = 3. Rötter: -5, 8; som synes i grafen. Eller som du själv skriver; -x(x-3) = -40 är en enklare slags faktorisering som är snäppet klurigare att lösa.

Kuriosa; enligt en lärare på LTU är sverige ett av få länder - om inte det enda - som använder sig av just PQ-formeln. Vi behöver inte titta längre än till våra grannar i Norge för att se att de använder en mer generell formel som även klarar av en koefficient framför x^2-termen. Denna formel är inte mer avancerad än PQ-formeln och man kan fråga sig varför Sverige gör undantaget att använda PQ istället för den mer generella - som beskrivs här: http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrat...dratic_formula

Skulle du kunna likna savankte per och hans boll vid en kvadrat? Vad är sidorna, och vad är arean?

Förövrigt tycker jag pq-formeln och den kvadratiska formeln är i princip identiska, jag menar, det är väl inga problem att förkorta bort koefficienten framför x^2 om så krävs. Har man inte lust med den använder man den andra formeln. Det är fortfarande bara formler det handlar om, och formler är knappt värda att lägga på minnet. Man får ju ändå ett formelblad vid prov om man skulle råkat glömt.

Jag vill kunna snickra ihop en passande formel från scratch vilket skulle vara möjligt om jag faktiskt förstod.

Du har en andragradsfunktion.

y=x²+px+q

Ifall du vill veta vilka x-värden som ger ekvationen värdet noll, dvs. nollställen, sätter du y=0

0=x²+px+q

I denna ekvation känner du värdena på p och q, det är x du söker. Problemet är lite krångligt att lösa ut x. Men ifall vi kollar närmare på vad som händer när man kvadrerar (x+p/2)² ser vi:

(x+p/2)²
=x²+2*x*p/2+(p/2)²
=x²+px+(p/2)²

Detta är väldigt likt x²+px+q, fast vi saknar q och har en term (p/2)² för mycket. Så vi lägger till q och tar bort (p/2)²

(x+p/2)²-(p/2)²+q
=x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q
=x²+px+q

Vilket är samma sak som den ursprungliga andragradsfunktionen. Vi utnyttjar detta och skriver om den ursprungliga funtkionen.

0=x²+px+q
0=(x+p/2)²-(p/2)²+q

Nu ska vi lösa ut x.
Vi flyttar över -(p/2)² och +q till VL.

(p/2)²-q=(x+p/2)²

Vi drar roten ur och glömmer inte ±, pga av (x+p/2)² alltid är positivt medans x+p/2 kan vara både positiv och negativt.

±√((p/2)²-q)=x+p/2

Flyttar till sist över p/2 till VL

-p/2±√((p/2)²-q)=x
x=-p/2±√((p/2)²-q)

Detta är pq-formeln som vi nu fått fram med hjälp av kvadratkomplettering.

Ekvationen i exemplet med Per lyder: -x^2 + 3x + 40. Vi har även sagt att ekvationen beskriver bollens höjd ovanför marken. Det vi söker är när ekvationen ger svaret 0, alltså då bollen tar i marken. Vi börjar med att dividera bort -1 för att få x^2-termen positiv, så att det hela blir lite mer i fas med pq-formeln. x^2-3x-40 blir resultatet. Vi betraktar -40, som alltså är konstant och alltid finns med. När kommer den fullständiga ekvationen vara 0? Jo, då x^2-3x helt eliminerar -40, alltså då x^2-3x = +40; eftersom +40-40 = 0. 'Arean' vi talar om är alltså ganska abstrakt, det har ingenting (uppenbart) med grafen y = x^2-3x-40 att göra.

Låt oss kika på en annan ekvation tillfälligt för att visa vad som menas. x^2 - 36 = 0 => x^2 = 36. Här är det 36 som är den area vi ska matcha med x^2. Det är här härligheten med att ha en perfekt kvadrat i vänsterledet visar sig. Vi tar helt enkelt roten ur på HL och VL så får vi x = ±6. Kvadraten i det här fallet har förstås sidorna 6.

Åter till det förra problemet. Det kniviga beror alltså på (linjära) x-termen, nämligen -3x i vårt fall. Jämför vi x^2-3x = 40 med till exempel x^2 = 40 så är problemet uppenbart. Vad kan vi göra? Vi är förstås intresserade av att hitta en ekvation som istället ser ut på formen (nånting)^2 = konstant så att vi återigen kan ta roten ur på HL och VL. Låt oss betrakta kvadreringsregeln; (x+a)^2 = x^2 + 2a*x + a^2. Som vi ser här dyker både en x^2- och en x-term upp. Likställer vi 2a med konstanten framför vår x-term i vår ekvation får vi 2a = -3, dvs; a = -3/2. Låt oss testa vad som händer med kvadreringsregeln nu; (x-3/2)^2 = x^2 - 3x + (3/2)^2. Aj aj, vi ser att vår formel är återskapad, men vi får även (3/2)^2 på halsen. Vad ska vi göra åt saken? Ja vi drar så klart bort (3/2)^2 från (x-3/2)^2.

Det här kan du kontrollräkna själv, annars får du tro mig på mitt ord; (x-3/2)^2 - (3/2)^2 = x^2-3x. Då bör vi alltså kunna skriva x^2-3x-40=0 så här: (x-3/2)^2 - (3/2)^2 - 40 = 0. En perfekt kvadrat, (x-3/2)^2, och två konstanta termer, lysande. Vi förenklar de konstanta termerna: -40 - (3/2)^2 = -160/4 - 9/4 = -169/4. Alltså hamnar vi på (x-3/2)^2 - 169/4 = 0, eller likvärdigt; (x-3/2)^2 = 169/4. Roten ur på båda led: x-3/2 = ±13/2 => x = 3/2 ± 13/2 = 16/2 eller -10/2. 8 eller -5. Voila, våra rötter har visat sig. Hoppas det inte blev svårföljt, du får säga till om jag hoppat över nåt steg som gör att du inte förstår.


Korrekt; så länge man förstår var formeln kommer ifrån - anser jag. Att kunna en metod utan att förstå den är inte i min smak iallafall. Förstår du dessutom var formeln kommer ifrån kan du konstruera den vid behov, utan att behöva ett formelblad.


Jag hoppas mitt raljerande har lett till någon sorts förståelse; om inte annat har du fått ett till perspektiv. Här finns en betydligt mer utförlig förklaring: http://en.wikipedia.org/wiki/Completing_the_square

Jag tog mig friheten att snygga upp lite. Textmatte i all ära men ibland tröttnar ögonen.

Jag tycker dina exempel är intressanta. Samtidigt börjar jag först nu inse att jag varit stressad och förivrat mig. Jag har tappat fokus på det viktiga - att lösa ut x. Den dagen jag inte kan lösa ut x kanske jag ska börja gnälla igen. Å andra sidan har jag fått mycket arbete ur vägen och kan koncentrera mig på att först och främst gå igenom och räkna på allt som nämnts i tråden. Sätter väl igång lagom efter frukosten imorgon och tar en noggrann titt på dina exempel.

Jag får tacka alla som bidragit hittills. Det betyder dock inte att ni ska sluta fylla på. Då hamnar ni på åkern era jävlar