2 frågor om funktioner

Tjena, hoppas det inte blir rörigt.

Fråga 1:

Om man föreställer sig funktionen f(x) rent grafiskt, skall 1-f(1-x) tolkas som:

1. en enhet upp i y-led
2. reflektera i x-axeln
...etc

det blir ju olika grafer beroende på i vilken ordning man väljer, finns det ngn allmän regel för hur man ska göra?

Fråga 2:

Anta att f är en jämn funktion och g är en udda, både f och g är definierade för alla reella tal. Är följande funktioner udda, jämna eller ingetdera?

f+g, fg, f/g, g/f, ff, gg, fog, gof, fof, gog.

Det enda jag vet är att summor av udda funktioner är udda och summor av jämna är jämna, det hjälper mig dock inget här?
Jag vet också att summan av en jämn och en udda funktion är varken jämn eller udda.


Tack på förhand.

/Axel

Använd definitionerna av jämn/udda funktion: f(-x) = +/-f(x). För f+g ska vi då ha f(x)+g(x) = f(-x)+g(-x) för att den ska vara jämn. Men vi har f(-x) +g(-x) = f(x)-g(x) != f(x) + g(x). Fortsätt likadant för alla exempel.

Du har först f(x). Sedan reflekterar du kurvan i y-axeln för att får f(-x). Sedan förskjuter du kurvan 1 enhet åt vänster för att få f(1-x).

-f(1-x) fås genom att reflektera mot x-axeln, och slutligen förskjuter du kurvan 1 enhet uppåt för att få 1-f(1-x).

Du börjar helt enkelt "djupast" i funktionen.

Låt oss utgå från y = f(x).

Om vi nu utför operationen "flytta upp en enhet" får vi y = f(x) + 1.
Om vi därefter utför operationen "reflektera i x-axeln" får vi y = - (f(x) + 1).

Nu prövar vi i omvänd ordning.
Först utför vi operationen "reflektera i x-axeln", varvid vi får y = - f(x).
Sedan utför vi operationen "flytta upp en enhet", varvid vi får y = - f(x) + 1.

När du går på det hållet och har en startfunktion samt en följd av operationer, ta det så här stegvis, så borde det bli bra.


Omvänt, om vi har en graf såsom y = 1 - f(1-x), kan vi gå baklänges.

Vi kan se att y = 1 - f(1-x) är y = - f(1-x) uppflyttad en enhet.
Sedan är y = - f(1-x) grafen y = f(1-x) reflekterad i x-axeln.
Nu kan vi ta y = f(1-x) som y = f(-x) flyttad ett steg åt vänster.
Slutligen är y = f(-x) grafen y = f(x) speglad i y-axeln.

Alltså är y = 1 - f(1-x) den graf vi får om vi tar y = f(x) och i tur och ordning: speglar den i y-axeln, flyttar den ett steg åt vänster, reflekterar den i x-axeln, och slutligen flyttar upp den en enhet.

Vi kan ofta välja olika vägar. Till exempel kan vi i stället ta y = f(1-x) som y = f(x-1) speglad i y-axeln och sedan y = f(x-1) som y = f(x) flyttad ett steg åt höger. Båda är lika korrekta.

Tack för svaren, jag förstod dock inte det sista av manne, det blir ju olika beroende på i vilken ordning man genomför operationerna?

Ja, operationer kommuterar inte. (kommuterar = är oberoende av ordning.) Du måste därför veta i vilken ordning de skall utföras.

Jag upptäckte att det inte kommuterade och min fråga var i vilken ordning operationerna skulle utföras.
Är det så som Offsure skrev att man börjar "djupast i funktionen"?

Är operationerna givna i en viss ordning, utför dem i den ordningen. Om inte, så kan resultatet vara mångtydigt.