Ett roligt resistansnät

En person från amerikat skickade nyligen ett mail till mig där han undrade över en fråga han utsatts för när han sökt jobb på google. Jag har modifierat den lite till användbarhet. Det vore kul att se nån annans approach till problemet - det kanske finns en enkel, snygg lösning.

Låt N vara naturliga talen och tänk ett N x N rutnät där varje sträcka mellan två punkter vertikalt eller horisontellt är en resistor på 1 Ohm.

Given två punkter i detta plan som kan sammanbindas med en väg av ändlig längd genom resistorer - vad är resistansen mellan dem?

Det är nog en väldigt svår fråga eftersom du 1) använder ett ändligt nätverk och 2) inte inskränker dig till två specifika mätpunkter. I fallet då N → ∞ kan vi använda superpositionstekniker med strömkällor och strömsänkor.

Borde man inte kunna jämställa detta med att ha en heltäckande yta med resistans, ungefär som ett karbonpapper och ha två prober som trycker mot två valfria punkter. Resultatet borde bli densamma. Vet inte hur man löser det problemet men antar man kan göra nån form av integral av alla möjliga fältlinjer.

Vår fysiklärare gick igenom någon liknande grej och jag har för mig att svaret blev totalt 1 ohm oavsett var punkterna låg.

Är det inte 0,5ohm? 1/(1+1)ohm

Jag använde superposition, men under förutsättning att jag har en massa funktioner som i slutändan kokade ned till primtalsfunktioner och sånt där så det blev jobbigt, eftersom man måste ha alla möjliga vägar mellan två olika punkter.
N är de naturliga talen, så |N| är oändligt. Skulle det bli enkelt då menar du?

Låt punkterna ligga precis bredvid varandra - då är det 1 Ohm mellan punkterna direkt och sen finns det alternativa vägar, så det blir definitivt mindre än 1 Ohm...

Ja då tänker iaf inte jag räkna ut den exakta resistansen. urk.

Ligger de precis bredvid varandra blir svaret ½ Ω. Löses med superposition.

http://dx.doi.org/10.1119/1.1970777