paradoxer inom matematiken

Nej, det gör den inte alls.

Paradoxen är att den tänkta kroppen har ändlig volym men oändlig area. För att slippa ifrån färg och penslar kan du formulera paradoxen så här:

det finns ett oändligt stort pappersark (av en viss form) som du kan rulla ihop så att du får en strut som bara är ändligt stor inuti.

En annan paradox är att volymen på det min flickvän har i sin handväska inte står i proportion till handväskans kapacitet. Sakerna som finns däri klarar inte jag av att packa i en ryggsäck!

Det går säkert att räkna ut på något sätt.. eller så är det jag som är sköldpaddan alla pratar om..

EDIT: För övrigt är roten ur två 1,41421656237 enligt min miniräknare.
1,41421656237*1,41421656237=2,00000000000.. eller jag vet inte.

Roten ur två är inte en paradox, dock är det s.k. irrationellt tal, dvs. det går inte att skriva som ett bråk, och det finns inget mönster som upprepar sig.

Fermats sats bevisades för ett par år sedan, se ex. http://www.mbay.net/~cgd/flt/flt08.htm

Det var inte många här som verkar ha orkat kolla upp saker ordentligt/ läst sin matteläxa...

Det enklaste sättet att få bukt med målarparadoxen torde väl vara att från gymnasiet erinra sig om att areaskalan är kvadraten på längdskalan, medan volymskalan är kuben på längdskalan... man kan tänka sig att alla de små "delareorna" man lägger ihop när man beräknar integralen blir mindre och mindre, men aldrig så små att de slutar "spela roll". Volymselementen, däremot, blir så små att de helt enkelt upphör ge bidrag.

Att sedan argumentera om det i verkligheten går att måla eller ej är väl rätt poänglöst, eftersom struten hursomhelst är oändligt lång...

Äkta paradoxer är det rätt ont om, men Russels paradox i "barberarvarianten" torde väl vara en av de mest kända: I en liten stad finns en barberare, som har som enda regel att han rakar alla som inte rakar sig själva. Frågan är nu naturligtvis: Rakar han sig själv?

Problemet med det oförberedda provet är att man genomför ett inkorrekt induktionsbevis, det steg som vanligtvis brukar vara "visa att ... gäller för n=0" är inte komplett.

"Detta påstånde är falskt" är däremot en äkta paradox, Russel igen känns det som.

Roligaste inlägget är nog ändå han som tyckte att
"shit, sånt anser jag är meningslöst vetande..? Om logiken måste krånglas till med matematik så kan man ju lika gärna börja äta soppa med gaffel...(?)"

Menar han att matematiken skulle vara mindre logisk? Åberopar han Gödel? Är inte logiken också uppbyggd på axiom, och därmed ofullständig? Eller är det bara en person till som inte klarat av att tillgodogöra sig gymnasiematematiken?

Hursom, så gillar jag också härledningar med små fel i, min favorit är nog ändå

-1 = i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt (-1 * -1) = sqrt(1) = 1

Även om felet i denna är rätt lätt att hitta det med...

/Osquar F Kangaroo

Öhm... Fermat har varit bevisad i några år nu (av en viss Andrew Wiles, läs mer i exvis "Fermats gåta" av Simon Singh), och har aldrig varit en paradox, bara en hypotes.

sqrt(2) här väl aldrig någonsin varit en paradox, det mest intressanta i detta irrationella tals historia torde väl vara att den förste som visde att talet är irrationellt blev dränkt på grund av det - pythagoreerna gillade inte uppstickare...

-1 = i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt (-1 * -1) = sqrt(1) = 1
är ju inte så förbannat lätt om man inte kan lite högskolematte... det bygger ju på att i inte är lika med sqrt(-1).
roten ur är ju bara definierad för positiva reella tal.

Låter som om nån borde repetera lite gymnasiematte

Själv trodde jag att felet är att
sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b) bara gäller rella tal...

Jaha?
Vem då?

Enligt den grundläggande komplexa analysen, i utvidgningen av den reella, så definierar man först de komplexa talen genom att titta på par av tal som uppfyller vissa villkor (precis som man gör när man definierar heltal och rationella tal).

Efter att studerat sådana talpar så kan man skapa en beteckning för det tal vars kvadrat är = -1, och man kallar det talet för i, och det visar sig att det i stort sett kan fungera som en helt vanlig variabel.
Alltså är i*i=-1.

Inte en enda gång nämns något om sqrt, och det görs det inte heller senare, roten ur är bara definierad för positiva reella tal. Det är inte heller så att sqrt(4)=+/- 2. Roten ur är alltid positiv.

Och eftersom roten ur -1 inte är definierad, och inte heller roten ur något komplext tal, så fungerar naturligtvis inga operationer under ett rotuttryck.

Det där är väl inte riktigt sant. Det vanligaste sättet att definiera de komplexa talen är som en kroppsutvidgning av de reella. Till R lägger vi en rot till polynomet x^2 = -1.
Men du har rätt i att i definieras som det tal som har kvadraten -1.



Inte sant. Vi går till "Basic Complex Analysis" av Marsden & Hoffman (kurslitteratur vid Uppsala universitet). Vi slår upp "square root" i index och hittar
Vad lär vi oss av detta (förutom att detta forum inte är designat för matematiska uttryck)?
Jo, att kvadratroten ur ett komplext tal är definierad men i "grenar" (branches). Samma sak för positiva reella tal. Det finns två grenar för sqr så att spr(4) = 2 och sqr(4) = -2, respektive.

Nej, den korrekta utvidgningen sker genom att man definierar ett komplext tal som ett talpar av två reella tal. Det skall uppfylla ett antal regler (som naturligtvis är anpassade för att kunna ge ett tal i kvadrat -1).
(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)
...
(0,1)*(0,1)=(-1,0)

Sen så kallar man talet (0,1) för i, och låter alla andra tal bli betecknade som vanliga reella, och man ser att alla skillnader mellan komplexa och reella tal kan representeras med ett tal i.

Det är deras egna definition, och den är inte allmängiltlig, antar att boken är amerikansk? De brukar inte vara så stringenta när det gälller analys... (inte bara min åsikt)
Om du istället tittar på vad som i stort sett är ekvivalent med sqrt, dvs ^(1/2), så stämmer uttrycket du skriver helt och hållet om du byter ut första roten till upphöjt med en halv. Roten ur är en positiv reellvärd funktion av positiva reella tal. Om sedan författare kommer med egna definitioner så är det upp till dem, men roten ur har en mycket tydlig definition. Sen är det så att roten ur inte har något behov av att utvidgas eller ha flera värden. Det är överflödig information, båda värdena får man ur det uttryck man utnyttjar.

Tror du också att reella tal definieras som ett heltal följt av en oändlig lista av decimaler?

Ja, man kan definiera komplexa tal som punkter i R^2 (det gör t.ex. Marsden & Hoffman) och om man är analytiker kanske man t.o.m. tycker att det är det bästa sättet att göra det. Däremot måste man också känna till att de komplexa talen är den minsta algebraiskt slutna utvidgningen av R. Det går lika bra att definiera C på detta sätt.