En statistiska beskriver hur en slumpmässig variabel är fördelad. Man kan exempelvis säga att felen i en mätning är normalfördelade med ett medelvärde μ och varians σ². Om man har ett systematiskt fel är kanske medelvärdet μ = 0.2 mm och variansen σ² beskriver hur mycket mätningarna varierar kring detta medelvärde, ex σ = 0.1 mm. Täthetsfunktionen är då
f(x) = 1/(σ√(2π))exp(-(x - μ)²/(2σ²))
och dess relevans är att sannolikheten för att, vid en mätning, få ett fel i intervallet [x1, x2] ges av integralen av f i detta intervall. Du kan också hitta väntevärdet (medelvärdet) från denna funktion genom att integrera x*f(x) över hela reella tallinjen, och variansen ges av att integrera (x-μ)²*f(x) över hela reella tallinjen.
Om man ges någon någon okänd statistika som definieras av en täthetsfunktion f så kan man alltså räkna ut väntevärde och varians. De kända statistikorna skrivs ofta på ett sådant sätt att väntevärde och varians enkelt kan utläsas från täthetsfunktionen. För den diskreta (ersätt integraler med summor) Poissonfördelningen har vi exempelvis
f(k) = λ^k*exp(-λ)/k!
och väntevärde och varians ges båda av λ. Fördelningen ger sannolikheten för antal händelser k under ett givet tidsintervall under förutsättningen att deras medelfrekvens är känd och konstant och alla händelser är oberoende av tiden som gått sedan den senaste händelsen.
