Mattetal på nationella kurs C

Hade nationellt prov i fredags och tänkte höra ifall någon har svaret på denna fråga...
Vilket tal är minst ut av dessa? Motivera.
e ln e lg e ln10 lg10 1

Jag svarade ln10

Du skojar? Hur motiverade du?

P.S. Kan du inte slå det på miniräknare?

Svaret är lg e har jag för mig

Skrev som motivering att e är mindre än 10 och då också <1.

Även att 10 är >e och då är även ln10>1.

De andra talen är ju 1 förutom e som är 2.72 någonting

Vet dock inte om det är rätt motivering men slog de olika talen på mobilen och var ju tvungen att komma på en motivering också.


Edit, det var på delen utan miniräknare som frågan var på.

Kommer inte riktigt ihåg, var stressad!
Men när jag tänker efter nu, så ser jag att det var ett riktigt krokat svar

HAde exakt samma prov!

Det var i del 1, där man inte fick använda miniräknare. (detta var en mvg-uppgift)

Det minsta talet är lg e.

e = 2,71, lne = 1, ln10 > 1, lg10 =1, 1 = 1.

Motiveringen ´som jag skrev:
"lge är talet som 10 ska upphöjas med för att få e. e är ca 2,71. vi vet att lg10 är 1, dvs 10^1 = 10. eftersom e < 10 så är lge < 1. resten av talen är 1 eller större än 1.

e = >1 --> e
ln(e)=e^x=e --> 1
lg(e)=10^x=e --> <1
ln(10)=e^x=10 --> >1
lg(10)=10^x=10 --> 1
1 = 1

Därav är lg(e) rätt svar.

fel!

Problemet är lg e och ln 10, de andra följer direkt ur definitioner. Antag:

y = e^x => ln y = x
y = e^x => lg y = x*lg e <=> x = (lg y)/(lg e), alltså är:

ln y = (lg y)/(lg e)

Då har vi att ln 10 = (lg 10)/(lg e), alltså om vi ska jämföra ln 10 och lg e så har vi antingen:

(1) ln(10) < lg(e)
(2) ln(10) > lg(e)
(3) ln(10) = lg(e)

Men, eftersom ln(10) = (lg 10)/(lg e) är det samma som:

lg(10)/(lg e) $$$ lg 10

Där $$$ är påhittat tecken för <, > eller =, eftersom lg(10) = 1 så är det samma som:

1/(lg e) $$$ 1

Vi har att e < 10 <=> lg e < 1, alltså är 1/(lg e) > 1 och därmed är lg(10)/(lg e) > lg(e) och därför lg(e) < 1 < ln(10)