Hjälp med en partiell diff.ekv!

Jag skulle behöva hjälp med följande, hur jag än vrider och vänder på det så blir det bara grisigare. Hjälp i form av mathematica tas gärna emot. Även om jag hellre vill få lösningen beskriven. Tack på förhand.

http://img215.imageshack.us/img215/9987/upg4pt3.jpg

Jag vet inte exakt hur man gör men vi kanske kan diskutera fram ett svar.

u(x,y)= g(r(x,y), fi(x,y)) där r=sqrt(x^2+y^2) "derivatorna map fi blir alltid 0 så de struntar vi i"

du/dx = dg/dr * dr/dx

d^2u/dx^2 = d/dx(dg/dr*x/sqrt(x^2+y^2)) = y^2/sqrt(x^2+y^2)

du/dy = dg/dr * dr/dy

d^2u/dy^2= d/dy(dg/dr*x/sqrt(x^2+y^2)) = x^2/sqrt(x^2+y^2)

vidare med ursprungliga ekv. (1)

d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 1/(x^2+y^2)^2

och med nya ekv. (2)

d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = ((x^2+y^2) / sqrt(x^2+y^2))

ger HL(1) = HL(2)

1/(x^2+y^2)^2 = ((x^2+y^2) / sqrt(x^2+y^2))

polära koordinater ger

r^3-r=0

och jag antar att det är g''(r) så då får man väl ta och integrera?

den biten har jag ite så stor koll på.

vad pluggar du?

Skriv om Laplaceekvationen till polära koordinater, du kommer då få en envariabels diffekvation som kan lösas på vanlig vis. Genom variation av parametermetoden, ordningsreduktion etc, etc.

SirJoos tack för hjälpen, men jag fick det inte riktigt så.

http://img413.imageshack.us/img413/2189/upglsghp0.jpg

Där är min lösning som kan vara svar på problemet. Kan någon grym människa säga om det är rätt eller fel?

Jag pluggar energiteknik för övrigt

d^2 u/dx^2 + d^2 u/d^y = Delta u = 1/(x^2 + y^2)^2

Använd polära koordinater (eller cylinderkoordinater där du skippar z-termerna) och du får att

sqrt(x^2 + y^2) = r
Delta u = d^2 u/ dr^2 + (1/r) du/dr + (1/r^2) (d^2 u/ d phi^2)

d.v.s.

d^2 u /dr^2 + (1/r) du/dr + (1/r^2) (d^2 u/ d phi^2) = 1/r^4.

Enligt uppgiften skall du anta att lösningen ej beror av phi, d.v.s

d^2 u/dr^2 + (1/r) du/dr = 1/r^4

eller

u'' + (1/r) u' = 1/r^4

Ansätt u' = v

v' + (1/r) v = 1/r^4
(exp(ln(r)) v)' = exp(ln(r)) 1/r^4
(rv)' = 1/r^3
rv = -1/(2r^2) + C
v = -1/(2r^3) + C/r

u(r) = int(v(r)) = 1/(4 r^2) + C*ln(r) + D

Använd randvillkoren

u'(1) = v(1) = -1/2 + C = 2 ---> C = 5/2

u(r) = 1/(4 r^2) + 5/2 * ln(r) + D

u(1) = 1/4 + 5/2*0 + D = 1 --_> D = 3/4

-->

u(r) = 1/(4 r^2) + (5/2)*ln(r) + 3/4

Testa resultatet:

u'(r) = -1/(2r^3) + 5/(2r) = -(1/2) (1/r^3) + (5/2)(1/r)
u''(r) = 3/(2r^4) - 5/(2r^2) = (3/2)(1/r^4) - (5/2)(1/r^2)

u'' + (1/r) u' = (3/2)(1/r^4) - (5/2)(1/r^2) - (1/2)(1/r^4) + (5/2)(1/r^2) = (2/2)(1/r^4) = 1/r^4 --->ok

Edit: Räknade fel på konstanten D, ändrat nu, och det stämmer bra överens med din "lösning" (fusk med Mathematica ).

Jag vet, mathematica är fusk, jag gjorde fakstigt en förhandlösning innan jag såg din post.. Bra jobbat annars

http://img514.imageshack.us/img514/5250/fakstigttq9.png


Nu har jag ett annat problem dock!

http://www.flashback.org/showpost.php?p=10747450&postcount=6819

Hjälp tas tacksamt emot!!