Hejsan, jag undrar om det finns ett geni därute som kan hjälpa mig med denna uppgift:
Ledningsdragning. tre städer A, B och C, belägna som figuren (1) visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar.
1:http://i139.photobucket.com/albums/q283/00foto/Triangel1.jpg
Tre alternativ diskuteras:
http://i139.photobucket.com/albums/q283/00foto/Triangel2.jpg
Undersök vilket alternetiv som för olika värden på a ger kortaste ledningsdragningen.
Jag har genom nätet fått fram dessa 2 svar:
Svar 1
Att avgöra detta för alla möjliga värden på a verkar vara för svårt så jag antar att det skall göras för vissa givna värden på a. Därför nöjer jag mig med att beräkna den totala ledningslängden i de olika fallen. I de båda första fallen har du själv svarat.
Låt P vara mittpunkten på AC och Q punkten där ledningarna möts.
Fall 3. Låt h vara höjden BP. Då ger Pythagoras sats att
h2 = a2 - 100 <=> h = sqrt(a2 - 100).
Pythagoras sats använd på triangeln APQ ger sedan att
(h - x)2 + 100 = x2 <=> h2 - 2hx + 100 = 0.
Lös ut x ur denna ekvation. Ledningslängden är sedan 3x.
Svar 2
Alt 1 ger ledningslängden L1 = a + 20.
Alt 2 ger ledningslängden L2 = 2 a.
Vi har att L1 < L2 om a > 20 och L1 > L2 om a < 20.
För Alt 3, låt θ vara vinkeln mellan sträckan AC och den föreslagna ledningssträckningen från A till grenpunkten. Det gäller då att
2 x cos θ = 20 (i)
samt
(x cos θ)² + (x sin θ + x)² = a² (ii)
Den förra ekvationen (i) ger
x² (1 - sin² θ) = 10² (iii)
Den senare ekvationen (ii) ger
2 x² (1 + sin θ) = a² (iv)
Division av (iii) med (iv) ger
(1 - sin θ)/2 = (10/a)²
dvs
sin θ = 1 - 2(10/a)² (v)
Genom insättning av (v) i (iv) ger
2 x² (2 - 2(10/a)²) = a²
x² = a²/(4 (1 - (10/a)²)) = a/(4 a² - 10²)
x = a²/√(4 a² - 10²)
Totala ledningslängden blir då
L3 = 3 x = 3 a²/√(4 a² - 10²).
Jag överlåter dock till dig eller någon annan att undersöka om jag har räknat rätt, samt se hur L3 förhåller sig till L1 och L2 i olika fall.
Kan någon förklara någon av svaren för mig för jag hänger med ett tag i varje svar men sedan fattar jag inget.
(har ni nå eget svar så får ni gärna förklara det istället
)
Ledningsdragning. tre städer A, B och C, belägna som figuren (1) visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar.
1:http://i139.photobucket.com/albums/q283/00foto/Triangel1.jpg
Tre alternativ diskuteras:
http://i139.photobucket.com/albums/q283/00foto/Triangel2.jpg
Undersök vilket alternetiv som för olika värden på a ger kortaste ledningsdragningen.
Jag har genom nätet fått fram dessa 2 svar:
Svar 1
Att avgöra detta för alla möjliga värden på a verkar vara för svårt så jag antar att det skall göras för vissa givna värden på a. Därför nöjer jag mig med att beräkna den totala ledningslängden i de olika fallen. I de båda första fallen har du själv svarat.
Låt P vara mittpunkten på AC och Q punkten där ledningarna möts.
Fall 3. Låt h vara höjden BP. Då ger Pythagoras sats att
h2 = a2 - 100 <=> h = sqrt(a2 - 100).
Pythagoras sats använd på triangeln APQ ger sedan att
(h - x)2 + 100 = x2 <=> h2 - 2hx + 100 = 0.
Lös ut x ur denna ekvation. Ledningslängden är sedan 3x.
Svar 2
Alt 1 ger ledningslängden L1 = a + 20.
Alt 2 ger ledningslängden L2 = 2 a.
Vi har att L1 < L2 om a > 20 och L1 > L2 om a < 20.
För Alt 3, låt θ vara vinkeln mellan sträckan AC och den föreslagna ledningssträckningen från A till grenpunkten. Det gäller då att
2 x cos θ = 20 (i)
samt
(x cos θ)² + (x sin θ + x)² = a² (ii)
Den förra ekvationen (i) ger
x² (1 - sin² θ) = 10² (iii)
Den senare ekvationen (ii) ger
2 x² (1 + sin θ) = a² (iv)
Division av (iii) med (iv) ger
(1 - sin θ)/2 = (10/a)²
dvs
sin θ = 1 - 2(10/a)² (v)
Genom insättning av (v) i (iv) ger
2 x² (2 - 2(10/a)²) = a²
x² = a²/(4 (1 - (10/a)²)) = a/(4 a² - 10²)
x = a²/√(4 a² - 10²)
Totala ledningslängden blir då
L3 = 3 x = 3 a²/√(4 a² - 10²).
Jag överlåter dock till dig eller någon annan att undersöka om jag har räknat rätt, samt se hur L3 förhåller sig till L1 och L2 i olika fall.
Kan någon förklara någon av svaren för mig för jag hänger med ett tag i varje svar men sedan fattar jag inget.
(har ni nå eget svar så får ni gärna förklara det istället
)
