Knappt och knappast, vad är skillnaden?

Det beror på som sagt. SAOL säger om knapp:

knapp adjektiv ~t ~a • nästan o*tillräcklig; sparsam; kortfattad; ​med knapp nöd nätt och jämnt

SAOB:

så beskaffad att den l. det bl. nätt o. jämnt l. icke riktigt väl förslår l. räcker till (för visst syfte)

Det kan alltså både betyda att det precis inte räcker till, eller att det precis räcker till.

Jo, det stämmer förstås.

Om jag knappt tog mig in till stan med bensinen som fanns i bilen så är det förstått att jag ändå tog mig fram.

Överlag så pekar det ändå på att knapphet uppvisar en regression mot litenheten, alltså kontextuellt små mängder resurser.

Nej, knappt en liter betyder lite mindre. Om du häller allt mjöl i ett litermått och drar en kniv över för att jämna ut men ytan buktar ner en smula, då har du knappt en liter - om det blir en liten kulle på ditt fulla litermått är det drygt en liter.

Knappast~sannolikt inte
Knappt~nätt och jämt, bara med möda

De är besläktade men kan användas på lite olika sätt och har en subtil skillnad.

Jag är knappast någon expert. Jag orkar knappt hålla ögonen öppna.

Skulle nog säga att "knappast" väldigt ofta används i betydelsen "definitivt inte"

Ja, det är väl en bedömningsfråga. Men min erfarenhet är att om någon uttrycker en absolut åsikt så blir användandet av Knappast ett understatement eller lite lätt sarkastisk underton, typ som att ”Det är det nog inte”. Typ som ”hardly” eller ”unlikely” på rngelska.

Vill man understryka något så är det väl bättre att använda ett ord som ger uttryck för det, t.ex. sbsolut, definitivt, utan tvekan.

Nej, men jag har sett det tas upp i språkspalter, där man reder ut detta. Det betyder "lite mindre än", men du är inte ensam.

Ibland beskrivs det som att det kan betyda "precis tillräckligt" kanske är det ursprunget till missuppfattningen?

Min helt ovetenskapliga gissning är att det kan komma sig av att "något för lite" och"precis tillräckligt" ibland kan vara samma sak. Du ska baka, 2 dl mjölk ska det vara i enligt receptet. När du häller upp andra decilitern i decilitermåttet blir det inte helt fullt, mjölken är slut och en halv centimeter fattas upp till måttets kant. Det finns bara knappt två dl mjölk. Lite för lite (enligt receptet). Men nog tusan är det ändå tillräckligt för att man ska kunna baka vidare utan att springa iväg och köpa mjölk? Alltså precis tillräckligt (för att kunna baka). Barnet som är med och bakar kan mycket väl uppfatta det som att det är "precis tillräckligt" mamma menar med "vi hade knappt med mjölk".

I en annan situation räcker det inte med nästan hela mängden, och det behöver t ex vara minst två meter bräda för att räcka. Brädan är 202cm. Precis tillräckligt. Men den är inte knappt två meter för det. 197 cm bräda är knappt två meter, men inte tillräckligt lång.

Däremot är det väl helt okej att säga att "det var knappt det gick vägen", "det var knappt maten räckte" och liknande? Då blir betydelsen mer "nästan inte" eller "med liten marginal".

Det är som näppt och näppast.

Och var i den artikeln står det att "knappt" betyder samma som "drygt" eller "lite mer än"?

Tror du får inse att din mamma hade fel om det.