Att räkna i fler dimensioner

Jag vet att det går att räkna med komplexa tal och att det även finns till exempel kvaternioner som kanske kan kallas vidareutveckling av samma system, finns det utöver de modellerna något helt annorlunda sätt att räkna matematiskt i högre dimensioner?

Imaginära tal ger ju möjlig lösning till x om x=sqrt(-1) så skulle ett nytt sätt att räkna kunna ge lösning för x om x!=0 till exempel?

Jag tror det finns fler dimensioner än de "gamla-vanliga". Hur många det finns har jag inte gått in på.

Men tex så skulle olika känslor kunna räknas som olika dimensioner.

Ångest är för mig en helt annan dimension jämfört med att vara i känslan Lycka tex.

Den stora frågan e nog inte hur många dimensioner som finns utan snarare i vilken man vill vara i.

I linjär algebra finns det sätt att räkna på alla dimensioner.

-------------

Det finns lite olika sätt att räkna i flera dimensioner, där vektorer och matriser alltid funkar i linjära rum. (Tensorer kan ses som en sorts generalisering.)

Just komplexa tal och kvaternioner är lite speciella för 2D resp 4D, därför att de har regler för produkt och division som ger samma sorts tal som svar. Så t ex kan man dela en kvaternion med en annan kvaternion vilket ger en tredje kvaternion som svar. Något motsvarande finns inte inom vanlig vektoralgebra i 3D.

Detta kan generaliseras till oktonioner i 8D, och i princip sen även till 16D, 32D, ...

https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley%E2%80%93Dickson_construction

Detta handlar inte direkt om antalet geometriska dimensioner, även om det iofs har relevans där. Den s k gammafunktionen Γ(z) är en generalisering av fakultet till reella tal x, så att
n! = Γ(n+1)
där n är ett heltal ≥ 0.
https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Gammafunktionen
Γ(z) är definierad för alla komplexa tal z, utom för negativa heltal där den har singulariteter (s k poler), och uppfyller för alla z relationen
Γ(z+1) = z Γ(z)
vilket för naturliga tal n motsvarar
n! = n (n-1)!
Så om man t ex vet att
Γ(1/2) = √π
så kan man lätt beräkna Γ(z) för alla andra halvtaliga värden -1/2, ±3/2, ±5/2, etc.

Slutligen, finns det någon lösning till x!=0? Eller mer generellt, finns det någon komplex lösning z till
Γ(z) = 0 ?
Svaret är nej.

https://proofwiki.org/wiki/Zeroes_of_Gamma_Function

En rolig och topicrelevant tillämpning av gammafunktionen är n-volymen av en n-dimensionell sfär med radien R, som ges av
Vₙ(R) = π^(3/2)Rⁿ/Γ(1 + n/2)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/N-sphere, så för t en 4D boll har vi voymen
V₃(R) = π^(3/2)R³/Γ(5/2)
där
Γ(5/2) = (3/2)Γ(3/2) = (3/2)(1/2)Γ(1/2) = (3/4)√π ,
dvs
V₃(R) = 4πR³/3
vilket ju stämmer.

Men nu kan vi alltså även beräkna t ex den 5/2=2,5-dimensionella volymen av en 2,5-dimensionell boll!:
V_{5/2}(R) = π^(3/2)R^(5/2)/Γ(1+5/4)
där
Γ(1+5/4) = 1.133003096319...
https://www.medcalc.org/manual/gamma-function.php

Inom kvantfältteori måste man "regularisera" för att öht få fram användbara resultat (vilka sen stämmer otroligt exakt med experimentella resultat), och då är EN av metoderna s k dimensionell regularisering. Istället för att räkna i 4D, där man får problem, räknar man på lite fler dimensioner, 4+ε, där |ε| är mycket mindre än 1, för att sen gå mot gränsen ε→0 på ett kontrollerat sätt. Och i detta ingår då att beräkna volymen på en boll i 4+ε dimensioner.

Att detta öht fungerar tycker jag ger anledning till att spekulera om att rumtiden kan ha en fraktal natur på små skalor. Fraktala dimensioner behöver ju inte vara heltal. Möjligen är rumtiden "skrynklig" på sina minsta skalor. Kvantskum kanske?