Hur förklarar man egentligen metaller och deras egenskaper?
Elektroner som laddade biljardklot - Drudemodellen
Den enklaste modellen för metaller fås genom att beskriva en metall som en uppsättning joner på fasta positioner och en gas av elektroner som inte påverkas av jonerna (eller varandra) utom vid direkta kollisioner. Laddningen för metallen som helhet är noll eftersom jonladdningarna och ledningselektronernas laddning tar ut varandra. Elektronerna beteer sig alltså precis som en ideal gas där inga krafter mellan partiklarna existerar utom i det korta ögonblick då vi har en kollision.
Antar vi att en elektron kan accelereras av ett elektriskt fält under tiden tau, innan vi har en kollision, och att hastighetskomponenten i fältriktningen efter kollisionen är noll (slumpmässig i alla riktningar) så finner man att strömtäthet och elektriskt fält är relaterade med
j = sigma*E
där konduktiviteten sigma ges av
sigma = n*e^2*tau / m
där n är elektrontätheten, e är elementarladdningen, m är elektronmassan och tau är tiden mellan kollisioner. Alltså förutsäger Drudemodellen Ohms lag. Tiden mellan kollisioner ges inte av teorin och måste införas som en parameter. Inte heller är det uppenbart vilken elektrontäthet som skall väljas.
Verkar detta rimligt? Enligt klassisk statistisk mekanik så ges elektronernas hastighet av
1/2*m*v^2 = 3/2*k_B*T (k_B är Boltzmanns konstant)
så att den medelfria vägen l = v*tau kan beräknas genom att mäta ledningsförmågan och temperaturen. Vid rumstemperatur finner man värden på l som är jämförbara med avståndet mellan joner (1-10 Å) och därför verkar det rimligt att ledningsförmågan begränsas av att elektronerna kollideras med jonerna. Man kommer dock finna i nästa avsnitt att v är temperaturoberoende och att tau är kanske 10 ggr större vid låga temperaturer. Detta ger ett avstånd mellan kollisioner som är flera tusen gånger jonavståndet. Hur undviker elektronerna jonerna? Även i mer avancerade modeller kommer denna form på konduktiviteten att behållas dock med en effektiv massa som kan skilja sig från elektronmassan m.
Det finns förutsägelser för denna modell som inte beror på tau. Ett exempel är Hall-koefficienten; skicka en ström i en riktning och lägg på ett magnetfält vinkelrätt mot denna ström. Det kommer då att utvecklas en spänning vinkelrätt mot fältet och strömriktningen. Att Drudemodellen förutsäger existensen av denna spänning är ännu en framgång. Hall-koefficienten definieras som den utvecklade spänningen delad med strömtätheten och magnetfältet och man finner att
RH = E/(j*H) = -1/(nec) (c är ljushastigheten).
Alltså beror storheten bara på elektrontätheten och fundamentala konstanter. Mäter man denna storhet så stämmer det teoretiska värdet och det experimentella värdet väl överrens för alkalimetaller (som är 'enkla'), ganska bra för Ag, Au, Cu men har både fel storlek och fel tecken för metaller som Be, Mg och In. Skillnaden mellan de metaller som beskrivs väl och mindre väl är främst antalet valenselektroner och vi kommer att se hur positiva Hallkoefficienter förklaras av teorin för hål som laddningsbärare vilket förklaras i ett avsnitt nedan.
En tredje förutsägelse är existensen av en plasmafrekvens. I ett tidsvarierande elektriskt fält blir konduktiviteten frekvensberoende och komplex
sigma(w) = sigma / ( 1 - i*w*tau) (w är vinkelfrekvensen).
Utseendet på denna komplexa konduktivitet bestämmer en metalls ytreflektion. Drudemodellen är för enkel för att förklara de olika färgerna på metaller (för detta behövs bandstrukturen hos materialet som förklaras i ett senare avsnitt) men den ger dock förutsägelsen att brytningsindex ges av
n = sqrt(1-(w_p/w)^2) med plasmafrekvensen w_p = ne^2/(epsilon_0*m)
så att när w=w_p blir n = 0 och reflektionskoefficienten
R = ((n-1)/(n+1))^2 = 0.
Således transmitteras 100 % av strålningen vid denna frekvens. Plasmafrekvensen för alkalimetaller ligger i det ultravioletta och man finner att dessa metaller verkligen blir 'genomskinliga' vid de frekvenser som förutsägs av teorin.
En sista förutsägelse värd att nämna som inte beror av tau är Lorenztalet som är kvoten mellan värmekonduktiviteten och elektriska konduktiviteten gånger temperaturen. Denna storhet blir en konstant L = (3/2)*(k_B/e)^2 och experimentellt finner man att denna storhet är relativt temperaturoberoende för många metaller men att storleken inte riktigt är vad som förutsägs. Rätt storlek på denna storhet ges av fria elektronmodellen vilken förklaras i nästa avsnitt.
Ett av de största problem med denna teori är att den förutsätter, i enlighet med klassisk statistisk mekanik, att molara värmekapaciteten för elektroner är 3/2*R. Uppmätta värden är dock mycket, mycket mindre. För att förklara denna diskrepans måste man ta hänsyn till elektronernas kvantmekaniska natur vilket gör att vi frångår klassisk statistisk mekanik.
Drudemodellen
Elektroner som laddade biljardklot - Drudemodellen
Den enklaste modellen för metaller fås genom att beskriva en metall som en uppsättning joner på fasta positioner och en gas av elektroner som inte påverkas av jonerna (eller varandra) utom vid direkta kollisioner. Laddningen för metallen som helhet är noll eftersom jonladdningarna och ledningselektronernas laddning tar ut varandra. Elektronerna beteer sig alltså precis som en ideal gas där inga krafter mellan partiklarna existerar utom i det korta ögonblick då vi har en kollision.
Antar vi att en elektron kan accelereras av ett elektriskt fält under tiden tau, innan vi har en kollision, och att hastighetskomponenten i fältriktningen efter kollisionen är noll (slumpmässig i alla riktningar) så finner man att strömtäthet och elektriskt fält är relaterade med
j = sigma*E
där konduktiviteten sigma ges av
sigma = n*e^2*tau / m
där n är elektrontätheten, e är elementarladdningen, m är elektronmassan och tau är tiden mellan kollisioner. Alltså förutsäger Drudemodellen Ohms lag. Tiden mellan kollisioner ges inte av teorin och måste införas som en parameter. Inte heller är det uppenbart vilken elektrontäthet som skall väljas.
Verkar detta rimligt? Enligt klassisk statistisk mekanik så ges elektronernas hastighet av
1/2*m*v^2 = 3/2*k_B*T (k_B är Boltzmanns konstant)
så att den medelfria vägen l = v*tau kan beräknas genom att mäta ledningsförmågan och temperaturen. Vid rumstemperatur finner man värden på l som är jämförbara med avståndet mellan joner (1-10 Å) och därför verkar det rimligt att ledningsförmågan begränsas av att elektronerna kollideras med jonerna. Man kommer dock finna i nästa avsnitt att v är temperaturoberoende och att tau är kanske 10 ggr större vid låga temperaturer. Detta ger ett avstånd mellan kollisioner som är flera tusen gånger jonavståndet. Hur undviker elektronerna jonerna? Även i mer avancerade modeller kommer denna form på konduktiviteten att behållas dock med en effektiv massa som kan skilja sig från elektronmassan m.
Det finns förutsägelser för denna modell som inte beror på tau. Ett exempel är Hall-koefficienten; skicka en ström i en riktning och lägg på ett magnetfält vinkelrätt mot denna ström. Det kommer då att utvecklas en spänning vinkelrätt mot fältet och strömriktningen. Att Drudemodellen förutsäger existensen av denna spänning är ännu en framgång. Hall-koefficienten definieras som den utvecklade spänningen delad med strömtätheten och magnetfältet och man finner att
RH = E/(j*H) = -1/(nec) (c är ljushastigheten).
Alltså beror storheten bara på elektrontätheten och fundamentala konstanter. Mäter man denna storhet så stämmer det teoretiska värdet och det experimentella värdet väl överrens för alkalimetaller (som är 'enkla'), ganska bra för Ag, Au, Cu men har både fel storlek och fel tecken för metaller som Be, Mg och In. Skillnaden mellan de metaller som beskrivs väl och mindre väl är främst antalet valenselektroner och vi kommer att se hur positiva Hallkoefficienter förklaras av teorin för hål som laddningsbärare vilket förklaras i ett avsnitt nedan.
En tredje förutsägelse är existensen av en plasmafrekvens. I ett tidsvarierande elektriskt fält blir konduktiviteten frekvensberoende och komplex
sigma(w) = sigma / ( 1 - i*w*tau) (w är vinkelfrekvensen).
Utseendet på denna komplexa konduktivitet bestämmer en metalls ytreflektion. Drudemodellen är för enkel för att förklara de olika färgerna på metaller (för detta behövs bandstrukturen hos materialet som förklaras i ett senare avsnitt) men den ger dock förutsägelsen att brytningsindex ges av
n = sqrt(1-(w_p/w)^2) med plasmafrekvensen w_p = ne^2/(epsilon_0*m)
så att när w=w_p blir n = 0 och reflektionskoefficienten
R = ((n-1)/(n+1))^2 = 0.
Således transmitteras 100 % av strålningen vid denna frekvens. Plasmafrekvensen för alkalimetaller ligger i det ultravioletta och man finner att dessa metaller verkligen blir 'genomskinliga' vid de frekvenser som förutsägs av teorin.
En sista förutsägelse värd att nämna som inte beror av tau är Lorenztalet som är kvoten mellan värmekonduktiviteten och elektriska konduktiviteten gånger temperaturen. Denna storhet blir en konstant L = (3/2)*(k_B/e)^2 och experimentellt finner man att denna storhet är relativt temperaturoberoende för många metaller men att storleken inte riktigt är vad som förutsägs. Rätt storlek på denna storhet ges av fria elektronmodellen vilken förklaras i nästa avsnitt.
Ett av de största problem med denna teori är att den förutsätter, i enlighet med klassisk statistisk mekanik, att molara värmekapaciteten för elektroner är 3/2*R. Uppmätta värden är dock mycket, mycket mindre. För att förklara denna diskrepans måste man ta hänsyn till elektronernas kvantmekaniska natur vilket gör att vi frångår klassisk statistisk mekanik.
Drudemodellen