Man ska placera siffrorna 1,...,9 i de 9 rutorna i en 3*3 kvadrat (matris) sålunda att summan av siffrorna i varje rad, varje kolonn och de två diagonalerna är den samma.
a) Vad måste denna summa vara?
b) Om vi kallar en samling av tre siffror som summerar sig till 15 en partition, hur många partitioner finns det? Hur många av dem innehåller siffran 5? Hur många partitioner deltar de olika siffrorna i?
b') Visa att om p och q är två partitioner så är antingen p och p disjunkta, sammanfaller, eller möts i precis en siffra.
c) Vilken siffra måste stå i mittrutan i en lösning?
d) Hur kan man utan att hitta en lösning visa att problemet måste ha en lösning?
e) Vad är matrisen A som beräknar summorna när den ges en vektor x i R^9 ?
f) Vi ser A som en linjär avbildning R^9 -> R^8. Vad är dimensionen till kärnan, dim ker A ?
g) Hur kan triangulering av A användas för att hitta en lösning?
h) Lösningsrummet (när man släpper kravet om distinkta siffror) är ett plan i R^9. Hur kan ortogonal projektion ned på det utnyttjas till att hitta en lösning?
i) Om vi ser på siffrorna som partiklar med samma vikt som siffran, visa att masscentrum i en lösning ligger i mittrutan.
j) Visa att kraftmomentet om mittkolonnen, mittraden och de två diagonalerna i en lösning är noll.
k) Vi kan betrakta en uppställning av (distinkta) siffror i kvadraten som ett mikroskopiskt tillstånd och radsummor, kolonnsummor osv som ett makroskopiskt tillstånd. Förklara varför en lösning har största möjliga entropi (oreda).
l) Hur kan vi utnyttja detta till att hitta en lösning med en dum stokastisk process, motsvarande nedbrytning i naturen?
m) Geometrisk spegling: Visa att om vi har en lösning så finner vi nya lösningar genom att spegla om mittkolonnen, mittraden och de två diagonalerna. Det ger i allt 5 lösningar.
n) Sifferspegling: Visa att om vi har en lösning så finner vi en ny lösning genom att ersätta varje siffra x med 10-x.
o) Visa att sifferspegling av en lösning är rotation med 180 grader.
p) Problemets symmetrigrupp G definieras som gruppen av alla permutationer av rutorna som bevarar lösningar. Framställ G med generatorer och relationer. Hur många element har G?
q) Vad gör de 3 elementen i G som inte är speglingar?
r) Visa att G verkar fritt och transitivt på lösningsmängden.
s) Hur många lösningar finns det?
a) Vad måste denna summa vara?
b) Om vi kallar en samling av tre siffror som summerar sig till 15 en partition, hur många partitioner finns det? Hur många av dem innehåller siffran 5? Hur många partitioner deltar de olika siffrorna i?
b') Visa att om p och q är två partitioner så är antingen p och p disjunkta, sammanfaller, eller möts i precis en siffra.
c) Vilken siffra måste stå i mittrutan i en lösning?
d) Hur kan man utan att hitta en lösning visa att problemet måste ha en lösning?
e) Vad är matrisen A som beräknar summorna när den ges en vektor x i R^9 ?
f) Vi ser A som en linjär avbildning R^9 -> R^8. Vad är dimensionen till kärnan, dim ker A ?
g) Hur kan triangulering av A användas för att hitta en lösning?
h) Lösningsrummet (när man släpper kravet om distinkta siffror) är ett plan i R^9. Hur kan ortogonal projektion ned på det utnyttjas till att hitta en lösning?
i) Om vi ser på siffrorna som partiklar med samma vikt som siffran, visa att masscentrum i en lösning ligger i mittrutan.
j) Visa att kraftmomentet om mittkolonnen, mittraden och de två diagonalerna i en lösning är noll.
k) Vi kan betrakta en uppställning av (distinkta) siffror i kvadraten som ett mikroskopiskt tillstånd och radsummor, kolonnsummor osv som ett makroskopiskt tillstånd. Förklara varför en lösning har största möjliga entropi (oreda).
l) Hur kan vi utnyttja detta till att hitta en lösning med en dum stokastisk process, motsvarande nedbrytning i naturen?
m) Geometrisk spegling: Visa att om vi har en lösning så finner vi nya lösningar genom att spegla om mittkolonnen, mittraden och de två diagonalerna. Det ger i allt 5 lösningar.
n) Sifferspegling: Visa att om vi har en lösning så finner vi en ny lösning genom att ersätta varje siffra x med 10-x.
o) Visa att sifferspegling av en lösning är rotation med 180 grader.
p) Problemets symmetrigrupp G definieras som gruppen av alla permutationer av rutorna som bevarar lösningar. Framställ G med generatorer och relationer. Hur många element har G?
q) Vad gör de 3 elementen i G som inte är speglingar?
r) Visa att G verkar fritt och transitivt på lösningsmängden.
s) Hur många lösningar finns det?
