Tröghetsmoment för cylinder

Ska räkna ut tröghetsmomentet då en axel vinkelrätt (mot höjden) passerar en cylinders masscentrum. Höjden går längs z-axeln. Radien: r = R. Höjden: h = 2R.

Svaret är 7/12*mR²

Undrar om det finns något alternativt och smidigare sätt att räkna ut det än att använda Satsen om vinkelräta axlar samt Steiners Sats för att sedan integrera längs höjden (z-axeln) i infinitesimala skivor Länk till denna härledning. (längst ner på sidan)



Eftersom man kan räkna ut I_zz (axeln längs höjden genom masscentrum) utan steiners sats direkt från tröghetsmoments-formeln så känns det som man borde kunna göra detsamma när det enda man gjort är skifta axeln 90 grader.

Du kan utgå från tröghetsmomentet för en cirkulär skiva kring en diameter: mR²/4.

Hissa upp en sådan skiva, med massan dm, till nivån z (räknat från xy-planet). Steiners sats ger
dI_(xx) = (R²/4 + z²) dm = (R²/4 + z²) ρ πR²dz.

Integrera: I_(xx) = ∫ dI_(xx) = ρ ∫ (R²/4 + z²) πR²dz = ...

Här är ett alternativt sätt (eller är det egentligen samma?). Smidigare? Avgör själv.

z-axeln är alltså cylinderns höjdaxel. Det vi ska beräkna är I_xx eller I_yy som är samma sak pga symmetrin,
I_xx = I_yy
Låt oss kalla detta för I, dvs
I = I_xx = ∫ (y⁲+z⁲)dm
I = I_yy = ∫ (x⁲+z⁲)dm
Detta ger
2 I = I_xx + I_yy = ∫ (x⁲+y⁲+2z⁲) dm
dvs
I = ∫ ( (x⁲+y⁲)/2 + z⁲ ) ρ dV
där
ρ = M/V = M/(2R•πR⁲) = M/(2πR³)

Använd nu cylinderkoordinater med z som höjd, och med cylinderradien r definierad av
r⁲ = x⁲+y⁲
och volymselementet dV definierad av
dV = 2π r dr dz

I ges nu alltså av
I = 2π ρ ∫ ∫ ( r⁲/2 + z⁲ ) r dr dz
integrerat över 0 ≤ r ≤ R och -R ≤ z ≤ R. Eller med uttrycket för ρ:
I = (M/R³) ∫ ∫ ( r⁲/2 + z⁲ ) r dr dz
= ... räkna lite ...
= 7 M R⁲ / 12