Induktionsbevis hjälp!

Har lite problem med ett induktionsbevis som jag inte lyckas lista ut själv.

Visa att "Sigma"(n-1,k=1): 3^k= 1+3+3^2+....+3^(n-1)=(3^n)-1/2 , n≥1.

Jag är inte bäst på induktionsbevis så skriv gärna tydliga uträkningar.
Tack på förhand!

Fattar inte riktigt uppgiften. Kan du skriva den tydligare?
Hur kan du ha 3 st "="?
Är det summa från k=1 till n-1?
Vilket steg vill du visa lixom?

Är du säker på att du skrivit rätt här? Om du summerar från k=1 bör första termen bli 3 inte 1 och hur kan du ha ett -1/2 i svaret när du summerar en bunt heltal?

Jag vill gärna ta reda på hela uppgiften, förstår inte riktigt hur själva processen för att lösa uppgiften ser ut.

Bild på uppgiften:
http://imgur.com/lAZyV8e

Du har skrivit av fel. Det börjar på k=0.

Induktionsbevis gör du i två steg.
1) Bevisa att det gäller för n=1. Detta steg är trivialt.

2) Antag att det gäller för n=p. Visa att det då även gäller för n=p+1.

I steg två kan vi göra på följande sätt:
Antag att det gäller för n=p
Då har vi (enligt din notation) Sigma(p-1, k=0) 3^k = (3^p-1)/2
Och för n=p+1 har vi Sigma(p, k=0) 3^k = [Detta är självklart om du funderar på hur sigma fungerar] = (Sigma(p-1, k=0) 3^k) + (3^p) = (3^p-1)/2 + 3^p
Det som återstår är att visa att detta uttryck är lika med (3^(p+1)-1)/2

Nåt sånt här kanske.

Induktionsantagande

Antag att 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(k-1) = (3^k - 1) / 2, för k >= 1.

Induktionssteg

Vi vill visa att 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^((k+1)-1) = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(k-1) + 3^k = (3^(k+1) - 1) / 2 [**], för k >= 1.

Vänsterledet av [**]
= 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^(k-1) + 3^k
= [(3^k - 1) / 2] + 3^k (enligt induktionsantagandet)
= (3^k - 1 + 2*3^k) / 2
= (3*3^k - 1) / 2
= (3^1*3^k - 1) / 2
= (3^(k+1) - 1) / 2 = högerledet av [**]

Tackar för hjälpen!

Fysik, matematik och teknologi --> Naturvetenskapliga uppgifter
/Moderator