Visa att f(x,y)=xy är differentierbar i punkten (1,1)

Visa genom direkt användning av definitionen att f(x,y)=xy är differentierbar i punkten (1,1)

Hur gör man detta?

Vad jag förstår så är definitionen:

f(a+h,b+k)-f(a,b)=A(1)h+A(2)k+(h^2+k^2)^(1/2)*g(h,k)

Där (a,b)=(1,1) i det här fallet. och det är då differentierbart om lim g(h,k)=0 då (h,k) -> 0

Man borde väl då bara kunna byta ut (a,b) mot (1,1) till att börja med?

VL = f(1+h,1+k)-f(1,1)=(1+h)(1+k)-1=1+k+h+hk-1=k+h+hk

Eller?

Sen förstår jag inte hur jag ska göra med högerledet.. Vad är A(1) och A(2) för något?

Så här ser lösningsförslaget ut, vilket jag ej förstår: http://ladda-upp.se/files/2014/b122749.jpg Har de använt A och B där istället för A(1) och A(2)?

Jag testade att låtsas att A(1) och A(2) var konstanter:

A(1)=A A(2)=B (lättare att skriva)

Jag fick ju ut att VL var lika med k+h+hk.. sååå:

k+h+hk= Ah+Bh+(h^2+k^2)^(1/2)g(h,k)

då kan man ju få över g(h,k) ensamt på ena sidan, och ta gränsvärdet:

lim g(h,k)= (k+h+hk-Ah-Bh)/(h^2+k^2)^(1/2) då (h,k) -> 0

Bytte ut mot polära koordinater:

lim g(r)=(r*sinv+r*cosv-A*r^2*cosv*sinv+r*cosv-B*r*sinv)/((r^2*cosv^2+r^2*sinv^2^)^(1/2) då (r) -> 0

Vilket med trignometeriska ettan osv kan förkortas till:

lim g(r)= sinv+cosv+r*sinv*cosv-Acosv-Bsinv då (r) -> 0

Gränsvärdet blir ju noll då A=1 och B=1... Men vad är A och B? har jag löst det?

f(1+h, 1+k) = (1+h)(1+k) = 1 + h + k + hk = f(1, 1) + 1 h + 1 k + √(h²+k²) · hk/√(h²+k²),
där hk/√(h²+k²) → 0 då (h, k) → (0, 0).

Du tänker rätt. A(1) och A(2) är konstanter. De är båda 1 i det här fallet.

Underbart!

Jag har problem med en till deluppgift:

visa att f(x,y)=e^(x+2y) är differentierbar i (2,2)

Gjorde enligt samma mönster som i förra uppgiften och fick:

g(k)=(e^6(e^(h+2k)-1)-A*h-B*k)/((h^2+k^2)^(1/2))

Problemet är att jag inte vet hur man räknar ut gränsvärdet på det. Polära koordinater verkar inte hjälpa så mycket:

g(r)=(e^6(e^(rcosv+2rsinv)-1)-A*rcosv-B*rsinv)/r

Hur ska jag gå vidare?

Jag tror att du får ta till någon sats i stället för att använda definitionen direkt.

Ett tag sen jag höll på med detta men det räcker med väl att visa att funktionen är av klass C¹, det vill säga, att funktionen är partiellt deriverbar och alla partiella derivator är kontinuerliga. Det finns nämligen en sats som säger att funktioner som är av klass C¹ är differentierbara.

Med andra ord räcker det med att visa att f(x, y) = e^(x + 2y) är partiellt deriverbar i (2, 2) och att de partiella derivatorna är kontinuerliga där. Då följer differentierbarheten i punkten (2, 2).

Grejjen med uppgiften är att man ska använda sig av definitionen!

Gör variabelbytet x = h + 2k och y = 2h - k. Detta ger dig

g(x, y) = e^6(e^x - 1 - Ax - By)/sqrt((x^2 + y^2)/5)

(För några andra konstanter A och B).