hjälp med andraderivata (differenskvot)

citerar direkt ur läroboken:

"... suppose we approximate uₓₓ(x, t) by the difference quotinent

uₓₓ(x,t) ≅ 1/(Δx)² * [u(x + Δx, t) - 2u(x,t) + u(x - Δx, t)] "


vill gärna hålla med men har lite svårt på "suppose"-delen. hur har man kommit fram till detta?

Det är knappt man behöver motivera ett antagande, men i fall som det här, där man faktiskt utgår från att det är möjligt, kan det vara bra.

Vi kan approximera derivatan genom
u'x(x,t) = (u(x+Δx,t) - u(x,t))/Δx
som ger
u'x(x-Δx,t) = (u(x,t) - u(x-Δx,t))/Δx

Andraderivatan kan approximeras genom
u''xx(x,t) = (u'x(x,t) - u'x(x-Δx,t))/Δx
= ( (u(x+Δx,t) - u(x,t))/Δx - (u(x,t) - u(x-Δx,t))/Δx )/Δx
= ( u(x+Δx,t) - 2 u(x,t) + u(x-Δx,t) )/Δx²