Cantor och de reella talen.

Jag hävdar ingenting om huruvida C finns i listan eller ej. Jag bryr mig inte ett skvatt om det, utan jag ger en enkel konstruktion som beskriver hur vi från en funktion f kan konstruera ett tal C. Detta använder listan f, men är inte impredikativt. f är inte en mängd, det är en funktion. Och min konstruktion bevisar att C existerar, det är ett konstruktivt bevis av detta.

Du kan som sagt inte förändra listan i efterhand, för då förändrar du ju C (se formeln), så ditt argument om att "lägga C först" är meningslöst, allt det ger dig är en annan funktion f' och ett annat tal C' som inte finns i f's målmängd.

Jag tror att sigges argument är att han nu ger oss listan med alla reella tal som vi använder då vi konstruerar C.

Det finns inte nån sån lista, det är det vi visar med C; men det går alltså inte att visa detta C heller eftersom listan inte finns som leder till just det C-et. För att det ska leda till nåt felaktigt i C måste man förstås visa att själva konstruktionen är felaktig och inget annat. Men konstruktionen funkar bevisligen bra för vissa listor, alltså måste det vara fel på de listor där konstruktionen inte funkar. Enda invändningen är kanske att konstruktionen är listberoende, så det kanske är fel på den också så att säga?

Så problemet är alltså att han inte förstår hur motsägelsebevis fungerar, för man gör ju alltid exakt så i ett motsägelsebevis. Du har nog rätt i att detta är hans problem, men det är ju lite fantastiskt att han fortfarande inte förstår det.

Det har du säkert koll på men det är värt att nämna igen, listan är inte bara över R utan också dess motsvarighet i N.
N|R för alla N och alla R (i detta fall alla R som ligger i 0,1)

SKÄMS DU INTE?

Förstår du inte skillnaden mellan att förstå och argumentera?
I varje inlägg diskuterar du nu vad jag förstår eller inte förstår!
Du bryr dig inte om att analysera argument...
i stället påstår du att jag inte förstår Cantors Bevis!

Så antingen BEVISAR du
att jag inte förstår Cantors Bevis,
eller så ber du om ursäkt!

Hej!
Inte bara Cantors lista...

Jag hänvisar dessutom till två mängder och en bijektion:
Mängden, N , av ALLA naturliga tal samt
mängden, R , av ALLA reella tal samt
en antagen bijektion dem emellan.

Dessa företeelser presenteras i Cantors diagonalbevis INNAN
han ger sin berömda definition av det reella talet C.

Jag utgår alltså från Cantors egenhändigt valda objekt och
ställer frågan om alla nödvändiga antaganden är redovisade.

Därefter förklarar jag att OM i fortsättningen något reellt tal; C ,
kommer att definieras så skall enligt Cantors förda resonemang
C , redan innan definitionen av C har formulerats,
finnas i mängden av reella tal; därför också i bijektionen och därför också i listan.

Och jag tillför (för att mitt argument skall bli
lätt att förstå även för icke-matematiker)
kravet att C finns överst i Cantors lista...

Kravet innebär rimligen att den först "definierade" decimalen
i talet C skall vara dess första decimal!

Nu får trollen antingen hålla käften i fortsättningen,
eller bevisa att mina åtgärder och min beskrivning av situationen
så här långt uttrycker en oförståelse av Cantors Diagonalbevis.

Nej, jag skäms inte eftersom jag förklarar om och om igen varför ditt argument inte är korrekt, och du inte förstår, utan bara upprepar samma sak om och om igen. Cantors bevis är korrekt, logiken är för mig glasklar och dina argument är felaktiga, detta bevisar att du inte förstår beviset. QED.


So far, so good... Du är med på att de två mängderna definitivt existerar, hoppas jag? Och att det enda icke-uppenbara antagandet är det tredje, att bijektionen existerar.
Det där stämmer om och endast om det tredje antagandet är sant och bijektionen faktiskt existerar, eller hur? Om det är falskt och ingen sån bijektion existerar, då måste det där inte stämma, är du med på det?
Men igen, så fort du säger "C ska vara på första platsen i listan", förändrar du ju vilket tal vi plockar fram från just den listan. Så det hjälper dig inte att ändra på bijektionen, det förändrar bara vilket tal diagonalförfarandet plockar fram.
Dina missförstånd är alltså två:
1. Att C måste finnas i bijektionens målmängd (i listan) är sant om och endast om en bijektion faktiskt existerar. Om ingen bijektion finns utgår vi från någonting falskt, och i så fall kan vi härleda lite vad som helst. Detta är ju precis vad vi visar sen också: eftersom vi kan härleda en motsägelse genom att definiera C, måste antagandet vara felaktigt. Detta är hur motsägelsebevis funkar.
2. Det hjälper inte att omdefiniera listan genom att införa C på någon plats, då detta ger en ny lista med ett nytt tal C.

Okej, nu har jag pekat ut två missförstånd, nöjd nu?

Gör du!? Då kanske du kan citera några sådana ställen?
Jag har bara sett dig om och om igen påstå att att Cantors bevis är korrekt.
Jag tycker nog att du i det här citatet visar att du inte förstår vad som utgör ett bevis!
Det är brukligt att använda bokstäverna "QED" för att avsluta ett bevis,
men jag ser bara följande fyra antaganden:

1 "Cantors bevis är korrekt"
2 "logiken är för mig glasklar"
3 "dina argument är felaktiga"
4 "detta bevisar att du inte förstår beviset"
Jag är med på att förutsättningarna är att bijektionen och de två mängderna existerar.

Om du är med på att det här händer INNAN definitionen presenteras!
Men HALLÅ! Försök inte att tjuvstarta!

HUR definitionen av C egentligen ser ut är ännu inte infört i resonemanget!
Listan innehåller enligt förutsättningarna ALLA reella tal
så oavsett vilket tal Cantors REELLA TAL C eventuellt kommer att bli
så finns det faktiskt enligt förutsättningarna ett tal n i bijektionen
sådant att n korresponderar med C...

Av vilken anledning kan vi inte nu innan definitionen införa ANTAGANDET att n=1 menar du?
Det är ju Cantors (och ditt) jobb att EFTER att ALLA förutsättningar är klarlagda presentera en definition av C
och DÄRNÄST undersöka definitionens konsekvenser under de givna förutsättningarna!

Du tror väl inte att förutsättningarna skulle kunna förhindra existensen av C?
Ska vi inte införa Cantors definition nu och se vad som händer?

Matematik har inte en tid, det är meningslöst att prata om "innan" och "efter".

Men du förstår att uttalandet "C är ett reellt tal och måste därför finnas med på listan!" bara är sant om och endast om antagandet att en bijektion f existerar är sant? Detta är nog den centrala frågan, så kan du svara klart ja eller nej på om du förstår och håller med om detta?

Alla motsägelsebevis fungerar genom att man antar någonting som inte är sant, ser att det leder till en motsägelse vilket bevisar att antagandet man gjorde är falskt. Det du gör är att försöka förbjuda en konsekvens av antagandet eftersom det leder till en motsägelse, vilket är helt bakvänt. Det är som att säga att "Anta att N är det största heltalet. Vi får ju då så klart inte definiera N+1, det säger ju emot vårt antagande!".

Förutsättningarna förhindrar inte min definition av C. Om du vill hävda det får du bevisa vad som är problematiskt med formeln C_k=f(k)_k'. Om du förändrar din lista, ger ju formeln ett annat tal C, så det hjälper dig inte att stoppa något visst tal på plats 1. Och igen, det finns ingen inneboende tid i matematiska resonemang, så prat om att tjuvstarta etc., är löjligt.

Men okej, en sista gång, logiken är att vi gör alltså ett antagande:
1. Det existerar en bijektion mellan N och [0,1], kalla den f.
Från detta följer att alla tal mellan 0 och 1 finns i f's målmängd (dvs. i listan). Detta är sant om och endast om f faktiskt existerar, eller hur? Om antagande 1. är falskt och f inte existerar, kan vi inte dra en sådan slutsats. Och om vi från 1. kan härleda en motsägelse måste 1. vara falskt, eller hur?

Så okej, låt oss se vad vi kan dra för slutsatser från antagandet att f existerar. Så, om f existerar, kan vi definiera ett tal C som beror på f enligt C_k=f(k)_k'. Denna definition har du än så länge inte hittat något fel på vad jag kan se. Speciellt säger den ingenting impredikativt, den bara tar bijektionen f och skapar ett tal från den. Formeln bestämmer alla siffror i Cs decimaltalsutveckling på ett unikt sätt, och är om du så vill ett konstruktivt bevis för att C existerar.

Men sen ser vi att från definitionen av C kommer C med nödvändighet skilja sig från alla siffror i f's målmängd, eftersom om C fanns på listan, dvs. f(n)=C, så har vi enligt definitionen C_n=f(n)_n'=C_n', vilket bevisar att C inte finns i f's målmängd. Men det är också uppenbart att C är ett tal mellan 0 och 1. Så alla tal finns inte i listan och vi har härlett en motsägelse, vilket betyder att vårt antagande om att f existerar måste vara falskt. Alltså existerar ingen bijektion mellan N och [0,1]. QED (korrekt använt den här gången).

Citat:
Ursprungligen postat av sigurdV
Jag är med på att förutsättningarna är att bijektionen och de två mängderna existerar.

Om du är med på att det här händer INNAN definitionen presenteras! Med "innan" åsyftade jag de numrerade satserna i bevisföringar!
Innan sats n brukar finnas en sats n-1...begrep du verkligen inte detta?
Och det är ingen ide att du "argumenterar" vidare innan du svarat på mina frågor.
I Cantors bevis befinner vi oss just nu alldeles INNAN Cantor lägger fram sin definition,
och vi måste vara överens om vad som gäller innan vi går vidare!
Du tjatar om det här: Men jag har ju framhållit att förutsättningarna bl a är att det du kallar "bijektion f" existerar.
Om det inte räcker så har du här två bokstäver: j a.

Hur lång tid ska det nu ta för dig att förstå att OM listan innehåller ALLA reella tal
så har varje tänkbart reellt tal en plats i listan och korresponderar mot ett naturligt tal n?
DU går alltså helt enkelt inte med på att alla reella tal finns i den lista som Cantor tänkt använda sig av för att definiera det reella talet C? Du kan inte ärligt hävda antagandet?

Du hävdar hela tiden INNAN beviset är utfört att den lista som skall användas
för att definiera det reella talet C INTE innehåller alla reella tal!?

Förstår du verkligen inte att ALLA antaganden gäller i ett bevis ända fram till den första motsägelsen? Och att vi så här långt i Cantors bevis inte funnit någon motsägelse?

Okej, men t.ex. existensen av bijektionen är inte sann "fram till" att vi definierar C, om vi kan bevisa att f inte existerar är antagandet alltid falskt. Motsägelsebevis är ett sätt att demonstrera detta genom att härleda en motsägelse, men det är alltid falskt att f faktiskt existerar, spelar ingen roll var i beviset vi är.

Ja, det existerar inte en lista med alla reella tal mellan 0 och 1. Det är ju vad vi bevisar; antagandet att en sån lista existerar leder, genom konstruktionen av C, till en motsägelse, så det kan inte vara sant. På samma sätt existerar inte heltal a,b så att a/b=sqrt(2); eller något största heltal N.

Kan du hänga med i logiken i den del av inlägget du inte citerar? Om inte, vad av det är oklart? Förstår du att min formel som definierar C är okej, och hur det betyder att vi har bevisat C's existens?

Du säger "okej" ...du säger "ja" MEN DU MENAR DET INTE... Förstår du inte att när du arbetar under ett antagande kan du samtidigt inte motsäga antagandet? Du får gärna TRO att du kommer att definiera ett tal som skapar en motsägelse som leder till att antagandet måste förkastas...MEN DU FÅR INTE FÖRUTSÄTTA DET! Du måste fungera ungefär som en domare i en rättsprocess du kan inte säga till den åtalade: Lyssna nu din brottsliga jävel... innan den anklagade är dömd för brottet!
Du borde inse att jag förstår hur definitionen fungerar genom mina försök att lägga fast förutsättningarna så att definitionen inte längre fungerar? Eller så långt kanske du inte förmår tänka? Vidhåller du alltså fortfarande att jag inte förstår Cantors Diagonalbevis?
Du HAR inte ännu bevisat C's existens! Vad du inte vill förstå är att din formel inte fungerar som den ska om du respekterar de givna förutsättningarna! Det kan bero på att du är fysiker och inte matematiker, du använder bara matematik...tillämpar formler på situationer... tränger aldrig djupare in i matematiska samband...allt du är intresserad av är att så snabbt som möjligt få en algoritm utförd.
IGEN: Du har inte bevisat det än...det är meningen att du SKA bevisa det... men så länge du hävdar att listan inte finns (enligt de antagna förutsättningarna) så KAN du inte bevisa ett jäkla dugg!
Jag tror faktiskt du kan ha börjat ana stället där ditt problem ligger: Eftersom alla reella tal enligt bijektionen fått ett eget naturligt tal så måste varje reellt tal du definierar ha ett nummer,n, och den decimal som motsvarar n är inte per definition den decimal som C enligt sin definition har som decimal nummer n. Så C kan bara få definierade decimaler fram till det reella tal i listan som har nummer n.
Enda chansen för dig att få C definierat är om C inte finns i listan, men antagandet påstår tyvärr att C finns där och du kan inte tillåtas förneka antagandet förrän C är definierat i alla sina decimaler...
Jag tycker att du borde förstå mitt argument vid detta laget...
och förstå att du måste förklara VARFÖR C oberoende av hur C är definierat inte får antagas vara f(1) . Annars har du ju problemet att C inte kan ha någon första decimal!