Cantor och de reella talen.

Jag skulle byta plats på punkt (1) och (2). Först antar han att mängden av decimaltal är uppräknelig. Detta innebär att de kan skrivas i en lista innehållande samtliga decimaltal.

Sedan visar han att det finns ett decimaltal som trots allt inte kan finnas i uppräkningen. Men vi hade antagit att samtliga decimaltal finns i uppräkningen. Alltså har vi en motsägelse.

Den här tråden uppkom ur en annan...kolla in länken:
https://www.flashback.org/t2155483p5

Jag ville diskutera oändlighetsbegreppet med tillämning
på paradoxer och Cantors Diagonalbevis och det upp rätt gott om folk
tills en moderator dök upp och trodde vår diskussion hada nåt att göra
med några andra trådar och stängde min tråd och skingrade deltagarna.

Orsaken till att jag grubblat på det här har med paradoxer att göra, ta till exempel Bertrand Russells Vicious Circle Principle... Han menar att man inte ska få definiera ett element i en mängd från den mängd den tillhör...Och det är ungefär vad Cantor gör. Och det är väl en del av förklaringen på att Bertrands Principia Mathematica inte blev så värst populär bland Matematiker.

Fortsätt! Det är intressant, vilken slutsats ska dras ur motsägelsen?

Att det inte går att göra en lista över alla reella tal, dvs de reella talen är strikt fler än de naturliga.

Att antagandet är falskt, dvs. de reella talen är inte uppräknerliga. Det är ju vad beviset går ut på? Det är ju ett s.k. motsägelsebevis, du kan läsa på om den typen av bevis här: http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_by_contradiction

Att minst ett av gjorda antaganden är falskt. Vi har bara gjort ett antagande: samtliga decimaltal kan finnas med i en uppräkning. Detta antagande konstaterar vi alltså är falskt.

Jag är lite trött på att människor tror det är av enfaldighet och okunskap
jag diskuterar mina frågor...Sorry... men nu tänker jag kontrollera ERA kunskaper i stället för att bara överse med att man rekommenderar böcker som läst och bevis jag för länge sedan förstått.

Uppgift 1: Bevisa följande definition: "ingenting" = "inte någonting"

Uppgift 2: Bevisa att det inte är sant att x = " x är inte sann"

Nåväl: Antagandet är falskt för att ett decimaltal tal inte finns på listan...
listan var således inte fullständig, ett decimaltal bör tillfogas listan
så vad hindrar oss från att göra det? Vi adderar ett till alla naturliga tal på listan
och lägger till siffran överst på listan tillsammans med det tal vi "glömt" ta med tidigare.

1: Definitioner går inte att bevisa, de är bara definitioner.
2: x = "x är inte sann"? Typ, det är inte sant att det inte är sant att det inte är sant att...? Eller vad menar du?

Ta det lugnt det här är inte blodigt allvar! Båda uppgifterna är lösbara!
Fundera lite innan ni ger upp! Brukar ni titta i facit med en gång?
Båda uppgifterna innehåller viktiga poänger i andra bevisföringar.
Somliga problem verkar olösliga...som det första.
Andra meningslösa ... som det andra.

Ta snubben som flög: Han tittade ner
och såg en björn promenera en km söderut,
en km österut samt en km norrut.
Nu var björnen tillbaka vid utgångspunkten:
VAD HADE BJÖRNEN FÖR FÄRG?

Om du ställer frågor som tyder på okunskap kommer du få såna svar.
Man kan inte bevisa en definition, per definition.
I den mån att "x="x är inte sann"" är en vettig sats (vilket är lite tveksamt, den verkar innehålla en oändlig rekursion, så jag vet inte...), så är den en variant på lögnarparadoxen, och kan inte bevisas sann eller falsk.

Hur blir det?
Vem svarar klart och övertygande
på frågan varför det skulle vara fel
att komplettera den uppenbarligen
inte färdigskrivna listan?

Vi vet att de naturliga talen är uppräkneliga. Dels är det rätt trivialt att inse då det är just de naturliga talen vi använder för att räkna saker, och dels är de naturliga talen definierade med induktion så att x∈N => x+1∈N. Vi behöver alltså inte tvivla på att alla naturliga tal finns med i listan. Det vet vi.

Däremot antar vi att alla reella tal finns med, men det visar sig att hur du än väljer att räkna upp de reella talen så finns det alltid ett sätt att hitta ett som inte är med, och således kan den inte innehålla alla reella tal.