Antag att vi har differentialekvationen x''+sin(x)=0, x=x(t) med begynnelsevillkor x(0) = pi/4 och x'(0)=0.
Man kan inte lösa ekvationen analytisk (vad jag har hört), men kan man på något sätt bevisa att funktionen x(t) är begränsad eller obegränsad, dvs. ta reda på om övre och undre gräns för funktionen existerar (dvs supremum och infimum).
Den fysikaliska bakgrunden till detta problem är förstås den matematiska pendeln (i detta fall en pendel som startar från vila). Ofta approximerar man sin(x)=x som gäller väldigt bra för små x (x är i detta fall utslagsvinkeln mellan pendel och jämviktsläge). Man får då differentialekvationen x''+x=0 med lösningen x=(pi/4)*cos(t), som ju är begränsad.
Jag tycker att x borde vara begränsad även om x''+sin(x)=0, då den ju är det i fysiken (utslagsvinkeln kan ju aldrig bli högre än startläget, det skulle ju strida mot lagen om energins bevarande), men när jag plottar den numeriskt i matlab så har funktionen större maxvärde än ursprungsvärdet. Min misstanke är dock att detta är ett diskretiseringsfel. Plotten i matlab blir f.ö. en "sinuskurva" där perioden blir längre och längre hela tiden
Eftersom den verkar vara begränsad enligt lagen om energins bevarande så tänkte jag att man kanske på något sätt kunde få in vektoranalys för att bevisa detta. Är detta en jättedum idé?
Och nästa fråga, om vi lyckas bevisa att x är begränsad, kan man då visa att varje lokalt maximum också är ett globalt maximum, dvs att den antar sitt ursprungsvärde varje gång den är uppe och vänder (vilket den också borde göra i enlighet med energins bevarande)?
Observera att endast rena matematiska bevis eftersöks! Snälla rädda min sommar så jag slipper sitta inne och tänka på detta hela tiden, vill kunna dra till stranden som alla andra.
Om jag kommer på lösningen själv lägger jag naturligtvis upp den här!
Lite matlabkod för den som vill plotta numeriska lösningarna:
Man kan inte lösa ekvationen analytisk (vad jag har hört), men kan man på något sätt bevisa att funktionen x(t) är begränsad eller obegränsad, dvs. ta reda på om övre och undre gräns för funktionen existerar (dvs supremum och infimum).
Den fysikaliska bakgrunden till detta problem är förstås den matematiska pendeln (i detta fall en pendel som startar från vila). Ofta approximerar man sin(x)=x som gäller väldigt bra för små x (x är i detta fall utslagsvinkeln mellan pendel och jämviktsläge). Man får då differentialekvationen x''+x=0 med lösningen x=(pi/4)*cos(t), som ju är begränsad.
Jag tycker att x borde vara begränsad även om x''+sin(x)=0, då den ju är det i fysiken (utslagsvinkeln kan ju aldrig bli högre än startläget, det skulle ju strida mot lagen om energins bevarande), men när jag plottar den numeriskt i matlab så har funktionen större maxvärde än ursprungsvärdet. Min misstanke är dock att detta är ett diskretiseringsfel. Plotten i matlab blir f.ö. en "sinuskurva" där perioden blir längre och längre hela tiden
Eftersom den verkar vara begränsad enligt lagen om energins bevarande så tänkte jag att man kanske på något sätt kunde få in vektoranalys för att bevisa detta. Är detta en jättedum idé?
Och nästa fråga, om vi lyckas bevisa att x är begränsad, kan man då visa att varje lokalt maximum också är ett globalt maximum, dvs att den antar sitt ursprungsvärde varje gång den är uppe och vänder (vilket den också borde göra i enlighet med energins bevarande)?
Observera att endast rena matematiska bevis eftersöks! Snälla rädda min sommar så jag slipper sitta inne och tänka på detta hela tiden, vill kunna dra till stranden som alla andra.
Om jag kommer på lösningen själv lägger jag naturligtvis upp den här!
Lite matlabkod för den som vill plotta numeriska lösningarna:
Kod:
%Huvudprogram
start=70; %Välj startvinkel (grader)
tid=30; %Välj tid som ska passera
[t1,Y1]=ode45(@linj,[0;tid],[start/180*pi;0]);
[t2,Y2]=ode45(@nonlinj,[0;tid],[start/180*pi;0]);
plot(t1,Y1(:,1),t2,Y2(:,1));
title(['Utslagsvinkel för plan pendel, startvinkel ',num2str(start),' grader.']);
legend('Approximation för små vinklar','Exakt lösning')
Kod:
%Approximerad funktion function f=linj(t,Y) f=zeros(2,1); f(1)=Y(2); f(2)=-Y(1);
Kod:
%Exakt funktion function f=nonlinj(t,Y) f=zeros(2,1); f(1)=Y(2); f(2)=-sin(Y(1));
