Beräkna medelhastigheten för en gas i atmosfären

Doh, missade det.

Så sqrt(3t/m)=sqrt(v^2) alltså
sqrt(3t/m)=v eller har jag missförstått totalt? Får jag då ut hastigheten i meter/s?

Tack för all hjälp hitills!

Du får ut förväntad fart, alltså <v>, vilket är den mest sannolika farten för en godtycklig molekyl. Alla gasmolekyler kommer att ha olika fart i olika riktningar, men du tar alltså ut medelfarten.

Använt sqrt(3*k_B*T /m) = sqrt(<v^2>)

Vilken enhet du får svaret i beror på vilka enheter du använder i dina invärden. Tex
k_B i J/K
T i K
m i kg

så får du enheten: sqrt(J/K * K /kg) = sqrt(J/kg) = sqrt( (kg*m^2/s^2) /kg ) = sqrt(m^2/s^2) = m/s

Och angående det im3w1l sade, så var det ett bra påpekande som jag tyvärr inte kan förklara. Formeln är dock både korrekt och korrekt härledd, så du behöver inte bry dig om det.


Jag kom på varför det fungerar. Inom statistik fysik är det väldigt vanligt att göra vissa approximationer utifrån att de allra flesta uppnåeliga tillstånden existerar inom ett oerhört snävt intervall (som en binomialfördelning med väldigt spetsig topp). Utöver detta är i jämvikt samtliga fördelningar lika sannolika, men eftersom majoriteten är på sådana sätt att "medlet" är det "rätta", är det detta som blir mest sannolikt. Om man då tittar på approximationen att sqrt(<v^2>) =~ <sqrt(v^2)> märker man att om några närliggande farter är besatta av majoriteten av alla partiklar, så kommer felet i approximationen att bli väldigt litet.

Tex om man gör om ditt exempel, fast med sannolikheterna 0,1*3 och 0,9*4 så får man:
3.91... =~ 3.9

Nej, som sagt är detta inte medelfarten (och inte heller mest sannolika farten).


Nja, så är det inte. Fördelningen är ju Maxwell-Boltzmann och det är inte så att alla partiklar ligger inom ett litet fartintervall.

MB-fördelningen för farterna är

f(v) = kv²exp(-mv²/(2kT))

så medelfarten ges av

<v> = ∫vf(v)dv / ∫f(v)dv = (1/(2(m/(2kT))²))/( (1/4)√(π/(m/(2kT))³)) = √(8kT/(mπ))

och kvadratiska medelfarten av

<v²> = ∫v²f(v)dv / ∫f(v)dv = (3/8)√(π/(m/(2kT))^5))/( (1/4)√(π/(m/(2kT))³)) = 3kT/m

så att

vRMS = √(<v²>) = √(3kT/m).

Den mest sannolika farten, som du också nämner, fås av det v för vilket f(v) är störst och vi finner det genom att derivera,

f'(v) = (2v-(mv/kT)v²f(v)

och sätter vi derivatan lika med noll fås

vP = √(2kT/m).

Notera att skillnaden är ganska "stor". Mest sannolika farten är ca 11 % mindre än medelfarten och RMS-farten är ca 9 % större än medelfarten.

Tack för att du redde upp begreppen lite åt mig Evolute

Och nu när jag tittar igenom mina föreläsningsanteckningar ser jag att det ju var rotmedelvärdet läraren räknade ut i det lite liknande exempel jag nämnde, inte medelfarten... pinsamt

Jaja...