substitution

bestäm den primitiva funktionen

sin(1/2x)/x^2

hjälp tack

∫ sin(1/2x)/x² dx = { u = 1/x; du = -1/x² } = ∫ sin(u/2) (-du) = ∫ -sin(u/2) du
= 2 cos(u/2) = 2 cos(1/2x)

wow smart och snabbt, tack ska du ha bara för att vara säker, den här är substitution va?

Ja, det är substitution. En variabel byts ut mot en annan som är en funktion av den ursprungliga. Den nya integralen blir trivial. I resultatet byter man tillbaka.

ja det är det som jag inte fattar, det jag vet att man ska köra denna metoden när det är t.ex. f(x) = cos(4x)*sin^3(4x) man ser att den ena är derivatan av den andra. men hur vet man att man ska använda denna metoden på just denna fråga? f(x) =sin(1/2x)/x^2

Man kan se även i detta fall att 1/x^2 är inre derivatan från sin(1/(2x)) (bortsett från en multiplikativ konstant). Det är dock inte nödvändigt att så är fallet för att substitution skall vara användbart; den skulle kunna leda till ett uttryck som kan partialintegreras.

En ganska generell regel:
Om integranden innehåller en funktion såsom sin, cos, sqrt, exp (dvs e^...) och det inre uttrycket är mer komplicerat än att vara på formen ax+b (t.ex. 1/x^2 eller sqrt(x)), pröva substitution där den nya variabeln sätts lika med det inre uttrycket.

I fallet jag hjälpte dig med skulle det då har varit mest naturligt att sätta u = 1/2x. Faktorn 1/2 hade dock ingen praktisk betydelse i det här fallet.