Den trigonometriska ekvationen:sin(-πx) = cos(-πx)+1
Sätt:-πx := 2y
Erhar då:sin(2y) = cos(2y)+1
Vi skall nu titta mer på högerledet, där vi skall utveckla cos(2y).
cos(2y) = cos²(y)-sin²(y)
, enligt cosinus dubbla vinkeln
Då är
cos(2y)+1 = cos²(y)-sin²(y)+cos²(y)+sin²(y) = 2cos²(y)
Ekvationen kan nu skrivas som:sin(2y) = 2cos²(y)
sin(2y)-2cos²(y) = 0
2sin(y)cos(y)-2cos²(y) = 0
Enligt sinus dubbla vinkeln
2cos(y)(sin(y)-cos(y)) = 0
Efter faktorisering av 2cos(y)
cos(y)(sin(y)-cos(y)) = 0
Efter division med 2. Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi då skriva om denna ekvationen till två enklare ekvationer.
Vi kan nu skriva ekvationen som:sin(2y) = cos(2y)+1
⇔
{cos(y) = 0
{sin(y)-cos(y) = 0
Vi börjar att lösa dessa ekvationer för att finna hela lösningsmängden.
Första lösningsmängden är då:cos(y) = 0 ⇔
y₁ = ±π/2+2πn ⇔
y₁ = π/2+πn ⇔
2y₁ = π+2πn
Andra lösningsmängden är:sin(y)-cos(y) = 0 ⇔
cos(y) = cos(y-π/2) ⇔
±y = y-π/2+2πn ⇔
Om VL = y så har ekvationen ingen lösning, därför har den endast lösning om VL = -y
2y₂ = π/2+2πn
Vi substituerar nu tillbaka -πx = 2y
Substituerar:2y₁ = π+2πn ⇔
-πx₁ = π+2πn ⇔
x₁ = -1+2n ⇔
x₁ = 2n+1
2y₂ = π/2+2πn ⇔
-πx₂ = π/2+2πn ⇔
x₂ = -1/2+2n
Svar: x₁ = 2n+1
och
x₂ = 2n-1/2
