Rörelsemängdmoment

Jag har en stång som sitter fast i en gångjärnsled i en punkt O, fix i i-ram. Stången har längden l och massan m. Längst ner, mitt på stången sitter en annan stång fastsvetsad, också längd l och massan m. De bildar alltså ett upp- och nervänt T. Hela konstruktionen är i gungning. Hur tar jag fram rörelsemängdmomentet med avseende på kroppens masscentrum?

Du behöver först bestämma tröghetsmomentet map masscentrum G. Har du gjort det?

Nej, hur gör jag det?

Om du känner till tröghetsmomentet för en smal homogen stång kring en axel genom masscentrum kan du använda Steiners sats (engelska: Parallel Axis Theorem):
http://sv.wikipedia.org/wiki/Parallellaxelteoremet
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/parax.html

- Går säkert att hitta i boken också.

Jo, okej. Måste jag inte då ha ett uttryck för systemets masscentrum? Kan du visa hur jag ska göra? (Vi kallar för övrigt satsen för Huygen's sats )

Tröghetsmoment ...

Stång OP kring G: ml²/12 (enl tabell),

kring O: ml²/3 (enl tabell eller Steiners sats)

Stång AB kring O: ml²/12 + ml² = 13ml²/12 (enl Steiners sats)

OP+AB kring O: ml²/3 + 13ml²/12 = 17ml²/12.

När masscentrum G för den _|_-formade kroppen är bestämd kan du på nytt använda Steiners sats för att bestämma kroppens tröghetsmoment I_G.

---
"Huygen's sats"? Stelkroppsdynamiken var väl knappast utvecklad under Huygens tid.

Tack för hjälpen!

Jag citerar en fotnot i min bok om följande förflyttningsregel för masströghetsmoment; I_A = I_B + m(r_AB)^2 + 2m(r_AB | r_BG) (13.43):

"Detta resultat återfinns i Eulers bok om stelkroppsmekanik Theoria Motus (rörelselära) från 1765 (Euler använder självklart inte skalärprodukten i sitt uttryck eftersom vektorräkning inte var "uppfunnen" då). Det är i sin bok Scientia Navalis (skeppsteori) från 1749 som Euler för första gången för in begreppet tröghetsmoment (momentum inartae) i mekaniken. Han bevisar där även (13.43) för specialfallet B=G. Detta specialfall var dock redan framtaget av Huygens i sin bok Horologium Oscillatorium (pendelklockan) från 1643, låt vara att Huygens uttrycker resultatet på annorlunda sätt eftersom begreppet tröghetsmoment inte införts än. I främst tysk och svensk litteratur kallas Huygens sats för Steirners sats efter den tyske matematikern med geometri som specialitet, Jacob Steirner, som i ett arbete "Om krökningscentrum för plana kurvor" presenterat 1838 visar följande för ett system av n punkter vars avstånd till A ges av r_i och vars avstånd till G ges av s_i:

sum_(i=1)^n Beta_i*(r_i)^2 = sum_(i=1)^n Beta_i (s_i)^2 + (r_AB)^2 sum_(i=1)^n Beta_i,

där Beta_i är en skalär storhet tillhörande punkt i, ej nödvändigtvis dess massa. Notera att Steirner inte studerar ett kontinuum utan ett punktsystem. Första gången, mig veterligen, Huygens sats kallas Steirners sats är i läroboken "Teknisk mekanik för stela system" från 1902 av Hans Lorenz, som var professor i mekanik vid tekniska högskolan i Danzig (smått komiskt är att Lorenz tillägnar Euler en annan av sina böcker). Då det vid denna tid var känt att satsen var framtagen av Huygens, Euler och många fler, syns det mig egendomligt att den började tillskrivas Steirner (ett uttryck för överdriven tysk nationalism helt enkelt?!)."