Linjär algebra, ta reda på vektor, har bas- och koordinatvektorer

Tjena,

Jag har lite problem med ett tal och behöver lite hjälp.

Vi har en bas S = { w1, w2, w3 } i R3 och är ortonormerad (fast det spelar ingen roll).
R3 har inre produkt.

Man ska ta reda på vektorn u. Vi har koordinatvektorn för u(s) = (-2, 1, 2)

w1 = (0, -3/5, 4/5)
w2 = (1, 0, 0)
w3 = (0, 4/5, 3/4)

Jag får inte till det, hjälp! :P

/S

Är u(s) = (-2, 1, 2) givet i basen S och du vill veta koordinaterna i standardbasen?

I så fall:
u = (-2)*w1 + 1*w2 + 2*w3 = (-2)*(0, -3/5, 4/5) + 1*(1, 0, 0) + 2*(0, 4/5, 3/4)
= (0, 6/5, -8/5) + (1, 0, 0) + (0, 8/5, 6/4) = (0+1+0, 6/5+0+8/5, -8/5+0+6/4) = (1, 14/5, -1/10)

Precis, u(s) är givet i basen S och är en koordinatvektor.
Vi vill ha vektorn som har koordinatvektorn u(s). Alltså u.
Tror att svaret du gav var rätt.

Går det att uttrycka u = (1, 14/5, -1/10) i S?
Eller är det som vektorn u(s) står för?. Jag är lite förvirrad. =P

Tack för hjälpen,
S

Det är just det u(s) står för. (Fast det skall nog vara u(S).)

Aha okej, men hur gör jag för att gå från u till u(s)? Måste man inte på liknande vis använda u med w1, w2, w3 för att kunna få ut u(S) = (-2, 1, 2)?

Ett jättetack för all hjälp!

/S

Korrekt. Ett sätt att göra detta är att ställa upp ekvationen a w1 + b w2 + c w3 = u och lösa den:

a (0, -3/5, 4/5) + b (1, 0, 0) + c (0, 4/5, 3/4) = (1, 14/5, -1/10)
dvs
a*0 + b*1 + c*0 = 1
a*(-3/5) + b*0 + c*4/5 = 14/5
a*4/5 + b*0 + c*3/4 = -1/10

Lös sedan ekvationssystemet.

Tack!

Noterade nu att du antagligen har skrivit fel på w3.
w3 = (0, 4/5, 3/4) har inte enhetslängd. Det skall antagligen vara w3 = (0, 4/5, 3/5).

När man har en ON-bas behöver man inte lösa ett ekvationssystem utan kan använda inre produkten.
a = u * w1
b = u * w2
c = u * w3